УДК 51

МЕТОДИКА РАСЧЕТА И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭКСПОНЕНЦИАЛЬМИ ПОЛИНОМАМИ


© 1996 г.   Л.  Л.  Лямец

В статье изложена математическая методика аппроксимации экспериментальных графиков экспоненциальными полиномами. Предлагаемый способ математической обработки позволяет рассматривать реакцию исследуемой системы как сумму экспоненциальных процессов и может эффективно применяться для анализа свойств систем и объектов, подчиняющихся законам пропорционального роста.

Для аналитического исследования свойств систем, содержащих нелинейные элементы, необходимо экспериментальные кривые, характеризующие нелинейную зависимость между входным воздействием и реакцией, представить в виде непрерывных аналитических функций в заданном интервале значений аргумента.

Как правило, точное представление экспериментальной кривой в виде некоторой аналитической зависимости невозможно, да и в этом практически нет необходимости, так как сама экспериментальная кривая, подлежащая аппроксимированию, содержит неточности, вызванные погрешностью измерительной аппаратуры, и, кроме того, различные экземпляры нелинейных элементов одного и того же типа имеют заметный разброс по характеристикам. Поэтому необходимо осуществлять аппроксимирование экспериментальных кривых с помощью непрерывных аналитических функций, которые давали бы приближение к экспериментальной кривой с погрешностью, не превышающей заданную.

В работе [3] описан способ аппроксимации экспериментальных кривых экспоненциальными полиномами и изложена методика расчета коэффициентов аппроксимации интерполяционным методом. Особен-ностью интерполяционного метода приближения является то, что количество экспоненциальных составляющих вдвое меньше числа экспериментальных точек. Если число экспериментальных точек значительно, то применение этого метода приводит к полиному очень высокого порядка, практически бесполезному.

Одним из методов, позволяющих повысить качество аппроксимации, является метод наименьших квадратов (или регрессия). При этом методе число отсчетов экспериментальных значений функции и ее аргумента может быть намного больше степени аппроксимирующего экспоненциального полинома. При реализации данного метода объединяются статистическая обработка данных и полиномиальная аппроксимация. Полученный экспоненциальный полином дает наилучшее приближение, при котором среднеквадратическая погрешность по всем точкам минимальна. При этом кривая аппроксимирующей функции проходит через облако точек исходной зависимости, а требование о равенстве ее значений ординатам узловых точек снимается.

Основные положения методики вычисления коэффициентов аппроксимации экспоненциального полинома по методу наименьших квадратов изложены в работе [1]. Пусть заданы соответственные значения функции T и независимого переменного t


Необходимо аппроксимировать данную, экспериментально установленную зависимость, полиномом вида

(1)

Полином (1) содержит m членов, причем 2m<n. На основании имеющихся экспериментальных данных можно составить систему уравнений

(2)

где h - значение шага независимой переменной t.

Введем обозначения

После подстановки принятых обозначений в выражение (2) получим

(3)

Для решения системы (3) предположим, что z1, z2, z3, ..., zm являются корнями некоторого полинома вида

(4)

Умножим первое из уравнений системы (3) на Sm, второе уравнение на S(m-1) , m-е уравнение на S(m-(m-1)) и сложим первые (m+1) уравнений. Выполняя данную процедуру, начиная со второго, затем с третьего и последующих уравнений, применяя к полученным выражениям метод приведения, получим систему из (n-m) уравнений

(4)

Решение системы (5) относительно S1, S2,..., Sm с использованием метода наименьших квадратов, описанного в [1], позволяет получить систему нормальных уравнений

(5)

Коэффициенты перед величинами Si вычисляются по имеющимся значениям функции Ti , измеренным в дискретные моменты времени ti. Решение данной системы определит значения S1, S2,..., Sm. Задачи на решение систем линейных уравнений относятся к задачам линейной алгебры. Эти задачи настолько распространены и важны, что для их реализации предложены многие десятки алгоритмов. Один из самых простых - алгоритм Гаусса. Для проведения вычислений может быть использована программа на языке Паскаль, описанная в работе [2] .

Последующие расчеты связаны с вычислением корней полинома (4). Программа на языке Паскаль, описанная в работе [2], полностью автоматизирует процесс нахождения всех m корней полинома с действительными коэффициентами. Алгоритм программы реализует метод Хичкока. В его основе лежит итерационный процесс выделения из полинома квадратичного множителя, корни которого (как корни квадратного уравнения) легко вычисляются аналитически. Затем полином делится на этот множитель, что понижает на 2 его порядок, и этот процесс повторяется до нахождения оставшихся корней. При этом использование аппарата комплексной арифметики позволяет найти комплексные корни.

Вычисление корней полинома (4) даст значения z1, z2, ..., zm. Любой корень zm записывается в виде


Определенность значений z1, z2, ... , zm позволит рассчитать значения a1, a2, ..., am из выражения


по формуле


Для действительных положительных корней m 0. Для определения коэффициентов Ei можно использовать алгоритм вычисления коэффициентов регрессии общего вида, при которой экспериментальные точки графических зависимостей приближаются выражением

(7)

где fi(t) - экспоненциальные функции вида


с известными коэффициентами ai. Для вычисления коэффициентов регрессии надо решить систему линейных уравнений

(8)

где

причем j = 1, 2, ..., m и k = 1, 2, ..., m.

Этот метод реализует программа, описанная в работе [2]. Перед ее использованием необходимо задать константу N (число функций) и уточнить процедуру Fi, вписав в нее экспоненциальные функции с известными коэффициентами ai.

Качество аппроксимации экспериментальных данных выражением (1) можно оценить сравнением средней квадратичной относительной погрешности аппроксимации с относительной погрешностью метода измерения. Средняя квадратичная погрешность аппроксимации Ф определяется по формуле:

(9)

где Tiаппр - численные значения функции согласно аппроксимации; Tiэксп - экспериментальные значения; n - количество экспериментальных точек. Предполагается, что точность аппрок-симации экспериментальных результатов достаточна, если средняя квадратичная погрешность аппроксимации не превышает по величине значение относительной погрешности измерения в эксперименте.

Применение данной математической методики позволяет опре-делить численные значения коэффициентов аппроксимации и опти-мальное количество экспоненциальных составляющих в полиноме (1). Коэффициенты аппроксимации Ei и ai можно рассматривать как параметры, характеризующие передаточную функцию нелинейной системы и определяющие всю экспериментальную кривую.

При анализе нелинейных систем аппроксимирующий полином определяет структуру уравнений, подлежащих решению. В случае электрических схем под аргументом t понимают сумму гармонических составляющих. Аппроксимирование полиномом (1) представляет значительный интерес, так как в общем случае показательная функция может быть разложена в ряд Лорана с коэффициентами разложения, представляющими функции Бесселя. В результате все промежуточные выкладки для получения искомых уравнений, подлежащих решению, опускаются и получается система уравнений, решение которой не представляет принципиальных затруднений.


Литература

1. Безикович Я. С. Приближенные вычисления. - М.: Гостехиздат, 1949. - 463 С.

2. Дьяконов В. П., Круглов В. В. Научно-технические расчеты на Турбо-Паскале. Справочное пособие. - М.: Наука, 1993. - 242 C.

3. Лямец Л. Л., Аппроксимация нелинейных характеристик экспо-ненциальными полиномами. // Вторая военно-научная конференция ВА ПВО СВ РФ. Ч. 2. - Смоленск: СВА ПВО СВ РФ, 1995. - С. 146 - 150.

 

Смоленская Военная академия ПВО СВ РФ.

Поступила в редакцию 1.04.96.