УДК 681.3.06
Моделирование свойств поверхности объекта
Ó 2006 г. Малашенкова И. В., Моисейкин А. А.
В данной работе рассмотрена часть проблемы построения реалистических трехмерных изображений, а именно локальные модели освещения. Все модели разделены на два класса: эмпирические и теоретические. Среди эмпирических моделей рассмотрены модели Фонга и ее модификации, предназначенные для ускорения быстродействия и учета таких явлений, как анизотропное отражение. Среди теоретических моделей подробно рассмотрена обобщенная модель Кука-Торранса, и ее составляющие: множитель Френеля, коэффициент самозатенения, функция распределения ориентации микрограней. Также рассмотрена модификация модели, учитывающая анизотропные свойства материалов.
Введение
Возможности современных персональных компьютеров
позволяют широко использовать компьютерную графику в пакетах проектирования.
Одним из основных средств построения
реалистичной трехмерной сцены является моделирование свойств поверхности
объекта c помощью локальных моделей освещения.
Локальные модели освещения
Существующие локальные модели освещения можно
разделить на две категории. К первой
категории относятся эмпирические модели. Они обычно эффективны в плане
быстродействия и некоторые из них дают довольно реалистичную картинку. Они
обычно не оперируют такими физическими величинами, как световая энергия, или
световой поток. Однако эти модели находят довольно широкое применение в
областях, где не требуется точная физическая
информация об освещении (например, спецэффекты в фильмах, программы для
художников и дизайнеров, для рекламных целей)
Ко второй категории относятся модели, базирующиеся на
физических представлениях о теории света. Изображения, полученные с
использованием этих моделей, очень хорошо соотносятся с экспериментальными
данными. Поэтому эти модели находят применение там, где важна точная имитация
поведения света (оформление интерьеров, архитектура)
В данной статье применены следующие обозначения.
Во-первых, для того чтобы четко различать эмпирические и теоретические модели
освещения, для первых будет употребляться название модель закраски, для вторых – модель
отражения. Во-вторых, переменные, зависящие от длины волны, будут
помечаться коэффициентом λ.
Такая переменная, теоретически, должна быть определена и вычислима для всех
длин волн видимого спектра. Практически, эти вычисления ограничиваются
несколькими величинами (тремя для цветовых моделей с тремя базовыми цветами).
В-третьих, для векторов и углов, использованных при задании локальных моделей
освещения, будут применяться обозначения представленные на рисунке и в
последующей таблице.
Рисунок 1. Углы и
вектора для моделей локального освещения
Рисунок 2. Пояснение к понятию касательный вектор
Обозначение векторов:
V – Исходящее направление света
– Входящее направление света
N –
Нормаль
к поверхности
T – Касательный
вектор к поверхности. Вектор, относительно которого берется направление 
H –
Биссектриса угла образованного векторами V,
– проекция вектора H на нормаль
N
Условные обозначения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения и свойства
Взаимодействие света и поверхности обычно описывается
отношением входящего и исходящего светового потока в заданной точке P поверхности.
Для теоретических моделей освещенности (то есть моделей отражения по терминологии
в документе) такой процесс описывается функцией 
– двунаправленной
функцией отражательной способности (ДФОС, в английской литературе BRDF – bidirectional reflectance distribution function).
Для эмпирических моделей по аналогии можно ввести функцию 
– двунаправленную
функцию закраски (ДФЗ, BSF – bidirectional shading function),
Иногда для описания как теоретических, так и
эмпирических моделей используется только ДФОС. Но, как будет показано далее,
некоторые модели закраски настолько далеки от физики, что использование ДФОС
слишком громоздко, ненатурально и ведет к чрезмерному усложнению модели.
Двунаправленная функция
отражательной способности
Для
моделей отражения отношение между входящим и исходящим потоком света
описывается выражением
(1)
Где
– световой поток,
отраженный от поверхности в точке P и в направлении V
– световой поток,
падающий на точку поверхности P с направления –V’
– значение ДФОС в
точке поверхности P, для направлений V и V’
– элементарный
телесный угол вдоль направления 
Поскольку 
,
,
единичные вектора, 
– косинус угла между векторами 
и 
Значение количества отраженного света, таким образом,
принимается за интеграл по всем возможным направлениям (то есть по полусфере
над поверхностью материала) значений количества света падающего на поверхность,
умноженный на значение ДФОС и проекцию вектора 
на нормаль. Такая
формулировка очень хорошо подходит для алгоритмов построения изображения, которые
используют при построении изображения интегрирование по полусфере и которые
используют информацию о телесных углах (например: излучательность, трассировка
путей, двухпроходные методы).
ДФОС имеет два важных свойства, которые напрямую
вытекают из физики света. Первое свойство это симметричность 
относительно
направлений 
и 
, то есть:
при 
и 
(2)
Второе свойство вытекает из закона сохранения энергии.
Согласно этому свойству 
удовлетворяет
следующему соотношению:
при 
(3)
Двунаправленная функция
закраски
Для
моделей закраски, отношение между входящим и исходящим количеством свет
задается в следующем виде:
(4)
Где
– световая энергия, отраженная от поверхности в точке P и в
направлении V
– световая энергия, падающая
на точку поверхности P из направления
–Vi
– значение ДФОС в
точке поверхности P, для направлений V и Vi
Таким образом, количество отраженного света вычисляется
как дискретная сумма значений количества света с n различных направлений, взвешенных двунаправленной
функцией закраски. Такая формулировка хорошо
работает для алгоритмов построения изображения, в которых принимаются во
внимание лишь ограниченное количество точек пространства (обычно в качестве
таких точек выступают точечные или направленные источники света)
Важное
условие, которому должна удовлетворять ДФЗ, это условие нормировки:
при 
и 
(5)
Это означает, что для любого направления исходящее
количество света не может быть больше входящего. Однако при этом в случае
наличия нескольких источников света, их
суммарный вклад в отраженное количество света может быть больше 1.
Поэтому эти значения приводятся к единице либо путем урезания значений единицу
превышающих, либо масштабированием всех значений освещенности на синтезируемом
изображении .
Модели закраски
Всякая эмпирическая модель освещения в компьютерной
графике базируется на некотором наборе качественных знаний о физике света,
которые могут быть сведены к следующим:
·
Поверхности различаются
по тому, каким образом они отражают свет
·
С одной стороны
существуют рассеивающие поверхности, для которых свет отражается во всех
направлениях
·
Некоторые поверхности
отражают свет, падающий на них, одинаково во всех направлениях. Такие
поверхности называют абсолютно рассеивающими или
поверхностями Ламберта (Ламберт описал отражение света такими поверхностями в
1760 г)
·
С другой стороны
существуют зеркальные поверхности, для которых отражение света происходит в
малой области вокруг направления отражения.
·
Некоторые зеркальные поверхности
отражают свет исключительно в направлении отражения. Такие поверхности называют
идеально отражающими или Френелевскими (поскольку это явление было описано
впервые Френелем в 1815г)
Рассеивающее и зеркальное
отражение.
Первые работы по моделям закраски были сделаны в 70х
годах. Простейшая модель, описывающая идеально рассеивающую поверхность (ДФЗ
для нее зависит лишь от угла между вектором падения светового излучения и
нормалью к поверхности) была использована в работах сразу нескольких
исследователей 70-х годов.
, при 
(6)
Где
d – коэффициент, задающий насколько поверхность будет
вести себя как рассеивающая (обладать рассеивающими свойствами)
s = 1 – d – коэффициент, задающий насколько поверхность будет
вести себя как отражающая (обладать рассеивающими свойствами)
,
, доля света, отраженного поверхностью рассеянно или
зеркально соответственно
n
– коэффициент, задающий, степень полированности поверхности.
Чем больше значение n тем более блестящим будет выглядеть моделируемый
материал
Металлические и пластиковые
свойства
Фонг заметил, что для многих материалов цвет
зеркального блика совпадает с цветом источника цвета. Поэтому в его
первоначальной формуле коэффициент 
принимался равным
единице для любой длины волны 
. Однако, как было отмечено другими исследователями, при 
моделируемая
поверхность выглядит как пластиковая. В свою очередь, чтобы поверхность
выглядела как металлическая необходимо, принять 
. Чтобы синтезировать изображения поверхностей, имеющих
промежуточные свойства между ‘пластиковой’ и ‘металлической’ было предложено
ввести в модель Фонга дополнительный коэффициент – множитель Френеля 
(выражение для множителя Френеля будет дано ниже). Таким
образом, модифицированная модель Фонга выглядит так:
(7)
Выражение для множителя 
достаточно сложно для использования в эмпирической модели, в
которой важны скорость и возможность аппаратной поддержки. Марш представил
достаточно простую альтернативу:
(8)
Где
коэффициент,
определяющий, насколько металлический вид будет иметь поверхность.
Соответственно 
определяет, насколько велики будут рассеивающие свойства
поверхности.
Стоит отметить, что при 
часть уравнения Фонга,
отвечающая за генерацию блика становится похожа на часть уравнения, отвечающую
за рассеянное отражение. Таким образом, можно сделать следующий шаг по
унификации алгоритма закраски, преобразовав выражение Фонга так, чтобы оно
удовлетворяло как рассеивающим, так и зеркальным поверхностям:
(9)
Или еще более обобщенно – заданию модели поверхности
как взвешенной суммы выражений для рассеянного и зеркального отражения.
, при 
(10)
Где
k – количество слагаемых для рассеянного либо
зеркального отражения (отражателей)
вклад i-го слагаемого
в общую модель
доля падающего
светового потока отраженная i-м отражателем
– задает степень
блеска i-го отражателя
Функция светового пятна
Множитель 
в модели Фонга был введен
после эмпирического анализа света отражающегося от блестящих поверхностей. Этот
множитель задает размер бликов света на поверхности и, поэтому, этот множитель
называют функцией светового пятна. Эта часть функции является самой трудоемкой
при вычислении значений модели Фонга. В связи с
этим было предложено множество альтернатив, призванных уменьшить вычислительные
затраты.
В качестве решения проблемы быстродействия была
предложена простая функция светового пятна, которая, несмотря на свои
достоинства, довольно редко применялась в средах для построения изображений.
Эта функция использует уравнение эллипса в полярной системе координат для
описания зеркального блика. Изменение эксцентриситета эллипса позволяет
регулировать размер светового пятна.
Также можно строить таблицы значений множителя 
для множества значений
t,
после чего проводить интерполяцию между ними. При условии использования
линейной интерполяции требуемые вычислительные затраты очень малы. Однако при
этом может возникнуть эффект полос Маха для устранения которого требуется либо
увеличивать количество значений t в таблице либо использовать интерполяцию более
высшего порядка – соответственно либо повышая требования к памяти либо замедляя
алгоритм.
Также предлагались различные варианты решения данной
проблемы, оперирующие с углом 
, а не с его косинусом. Например, Блинн предложил в качестве
функции светового пятна использовать функцию Гаусса, аппроксимированную с
помощью окна Парзена. Другая альтернатива – заменить 
полиномом 
. В качестве полинома 
можно использовать
полином Чебышева, аппроксимирующий функцию 
. Однако главный недостаток этих методов в сравнении с методами,
напрямую использующими значение косинуса, состоит в том, что для вычисления
угла 
требуется вычисление
функции арккосинуса – примерно такой же трудоемкой,
как функция возведения в степень. В то время как вычисление значение 
можно получать, как
скалярное произведение 
Как было показано выше, для вычисления значения 
не требуется высокой
точности, поскольку сама модель Фонга является эмпирической и не используется
при физически точном вычислении освещения. Ее единственная задача – создать
изображение блестящего объекта путем добавления бликов. Поэтому может быть
использована любая модель, которая будет визуально восприниматься так же. Исходя
из этого, Шлик предложил свой вариант модели Фонга, который не использует таких
дорогостоящих операций как возведение в степень
(11)
Здесь
задает степень блеска
материала. Эмпирические тесты показали, что соотношение между p в новой
модели и n в модели Фонга примерно равно 
Анизотропное отражение
Если при вращении поверхности вокруг нормали
отраженное излучение 
не изменяется, то
такая поверхность называется изотропной. Иначе поверхность называют изотропной.
Таким образом, ДФЗ будет также зависеть от угла 
или его косинуса 
. При создании моделей для таких поверхностей обычно полагают,
что на поверхность равномерно нанесены прямые параллельные царапины.
Направление этих царапин обычно используется для задания касательного вектора T (а также
вектора бинормали 
). Случайные царапины при этом могут имитироваться с
использованием различных методов текстурирования, при этом текстура может
задавать направление царапин или нормаль к поверхности.
Существует достаточно немного моделей, которые
учитывают явление анизотропии. Охара в 1981 году расширил модель Фонга
возможностью синтезировать изображения таких поверхностей, как шлифованный
металл. Основная идея модели – заменить симметрию относительно угла поворота
вдоль нормали эллиптической асимметрией. Таким образом, блик, формируемый
моделью, имеет форму эллипса.
(12)
Где
a,b,c – радиусы
эллипсоида, описывающего функцию светового пятна вдоль направлений касательного
вектора, бинормали и нормали соответственно.
Однако такая модель оказалась достаточно избыточной,
поскольку для задания анизотропного блика она требовала установки четырех
параметров.
Другая модель анизотропного отражения, использующая
идею Ванга, описанную ниже, требует лишь два параметра:
, где 
(13)
Где
, степени блеска поверхности в направлении касательного
вектора и бинормали.
Таким образом, при m = n модель
описывает обычное изотропное отражение, при 
модель описывает
анизотропный материал с направлением анизотропии параллельным касательному
вектору. Чем больше разница между m и n, тем более ярко выражены анизотропные свойства
материала.
Последняя эмпирическая модель
анизотропного отражения разработана Фурьньером. В ней свойство анизотропии
передается с помощью нескольких вычислений значения освещения по изотропным
моделям, значение нормали для каждой из которых меняется:
, при 
(14)
Преимущество данной модели состоит в том, что можно
использовать различные изотропные модели, а недостаток в том, что каждое
слагаемое вычисляется независимо от других, что приводит к избыточным
вычислениям.
Модели отражения света
Долгое время единственным законом оптики, известным
науке был закон отражения. Преломление света, то есть изменение направления
светового луча при пересечении границы двух оптических сред, было исследовано
значительно позже. Только в начале 17 века Снелл и Декарт независимо дали объяснение
явлению преломления, как результату различной скорости распространения света в
разных средах. Первый закон оптики способный количественно описать
распределение энергии при взаимодействии света с объектами был представлен Ламбертом
в 1760 году. Он описал отражение света идеально рассеивающей поверхностью.
Отражение света идеально зеркальной поверхностью было достаточно полно описано
Френелем в 1815 году. Впоследствии эта модель была обобщена для любого типа
электромагнитных волн Максвеллом.
Модели, описывающее взаимодействие
электромагнитных волн с шероховатыми поверхностями, появились лишь во второй
половине 20го века. Эти модели упрощаются или усложняются в зависимости от
количества учитываемых ими факторов: самозатенение, дифракция, интерференция,
поляризация.
Модели отражения в лучевой оптике
В физике существуют две теории распространения света.
Согласно первой теории, волновой, свет является электромагнитной волной, длина
которой для видимого спектра 380 – 780нм. Согласно второй теории,
корпускулярной, свет является набором частиц, распространяющихся прямолинейно, при
этом каждая из них переносит определенную долю энергии. Корпускулярная теория
значительно упрощает описание процесса распространения света, однако при этом
явления связанные с волновой природой света абсолютно не учитываются.
Другое классическое допущение в физике света состоит в
предположении, что поверхность состоит из так называемых микрограней –
микроскопических идеально отражающих поверхностей расположенных случайно
относительно нормали к самой поверхности материала. Причем только те микрограни,
нормаль которых совпадает с вектором H, вносят свой вклад в отражение между V и 
. Поскольку размер
микрограней считается много большим чем длина волны, все допущения лучевой
оптики считаются верными.
Первая теоретическая локальная модель освещения в
компьютерной графике была разработана Куком и Торрансом.
Она основывалась на допущениях лучевой оптики. Подобно модели Фонга, модель
Кука и Торранса представляет собой линейную комбинацию между рассеивающей и
зеркальной составляющей.
(15)
Где
, 
и 
имеют тот же смысл,
что и в уравнении Фонга (в частности это означает что выражение 
верно)
– вероятность
совпадения нормали микрограни с вектором H
– множитель Френеля,
который описывает долю света, отраженного микрогранью.
коэффициент,
учитывающий явление самозатенения поверхности
Фактически, благодаря наличию множителя Френеля,
модель Кука-Торранса относится как в волновой, так и лучевой оптике.
Уравнение 15 должно
удовлетворять условию нормализации (уравнение 3). Поэтому накладываются
ограничения на функцию распределения:
(16)
Если поверхность изотропная
предыдущее условие упрощается до:
(17)
Если преобразовать данное
выражение относительно косинуса,
(18)
А уравнение 15 принимает вид
(19)
Функция распределения ориентации
микрограней
Первоначально в модели (15) в качестве 
было выбрано
распределение Гаусса, которое, однако, не удовлетворяло условию 18. В последствии
в качестве распределения была выбрана другая функция:
(20)
Где
m – задает степень неровности моделируемой поверхности.
Теоретически 
, однако, для реальных материалов значение m
редко превышает 0,5. Таким образом, когда
поверхность шероховатая и значения m большие расположение микрограней беспорядочно. Если
поверхность гладкая (малые значения m) микрограни ориентированы так, что их нормали
расположены близко к средней нормали N. Для идеально гладкой поверхности распределение 
совпадает с 
функцией Дирака.
Данная модель обладает рядом преимуществ. Первое, это
то, что не вводится никаких новых абстрактных величин. Модель зависит лишь от
величины m, которая имеет простой физический смысл и может быть
достаточно просто измерена экспериментальным путем. Второе, это то, что
уравнение удовлетворяет условию 18, что означает выполнение закона сохранения
энергии.
Модель 20 является результатом довольно простых
предположений о расположении граней. Кроме того, существует более полное
выражение для 
, которое более точно соответствует экспериментальным данным.
Таким образом, поскольку выражение 20 является более или менее приближенным,
можно было предложено менее трудоемкое выражение для распределения 
, которое также удовлетворяет условию 18.
, при 
(21)
Коэффициент самозатенения
Коэффициент самозатенения учитывает эффект, когда одни
микрограни (в данном случае точнее сказать микрошероховатости) отбрасывают
тень, либо не дают распространяться свету, отраженному другими микрогранями. В
своей работе Кук и Торранс использовали следующее выражение:
(22)
Это выражение является результатом достаточно грубых
упрощений, и поэтому не удовлетворяет экспериментальным данным. Кроме того,
первая производная для него не является непрерывной, значение G зависит от
угла поворота поверхности вокруг нормали и наоборот не зависит от степени
гладкости поверхности.
Уравнение, предложенное Смитом, лишено этих
недостатков и, кроме того, было экспериментально проверено. Данное выражение
зависит лишь от входящего и исходящего направления.
(23)
Где
; (24)
;
Данное выражение также достаточно сложно для
вычисления, однако оно может быть аппроксимировано с высокой точностью
следующими выражениями.
, при 
(25)
Множитель Френеля
Множитель Френеля описывает отражения света
сориентированной микрогранью, то есть микрогранью, для которой нормаль
совпадает с вектором H. Для неполяризованной электромагнитной волны:
, (26)
где
,
– коэффициент преломления между средами над и под
поверхностью
– коэффициент затухания
Для диэлектриков это выражение немного упрощается
(поскольку для диэлектриков 
)
, 
К сожалению значения 
и 
не всегда известны,
зачастую можно найти лишь значения 
и 
для длины волны 589нм – середины видимого
спектра. Также для многих материалов экспериментально измерено спектральное
распределение множителя Френеля 
при 
. Для обхода ограничения в экспериментальных данных Кук и Торранс
предложили вычислять значение 
следующим образом:
Вычислить
и 
для 
и 
используя выражение 26
Вычислять
значение 
для конкретных длин
волн по формуле:
(27)
Анизотропное отражение
Одной из первых моделей способных передавать
анизотропные свойства материала была модель Поулина и Фурьньера. Согласно этой
модели эффект анизотропии моделировался путем добавления микроскопических
неровностей цилиндрической формы к поверхности. Однако данное представление
анизотропных поверхностей оказалось слишком упрощенным, и даже эмпирические
модели были способны смоделировать большее количество явлений анизотропии.
Другая модель, предложенная Вандом, учитывала явление анизотропии,
базируясь на двух предположениях: для бликовой составляющей ДФОС использовалась
функция Гаусса и для анизотропной составляющей использовалась эллиптическая
модель.
, при (28)
где:
s, d, 
, 
– смысл этих
переменных аналогичен уравнению Фонга.
- анизотропная
функция распределения
распределение
направлений ориентации микрограней относительно касательного вектора и
бинормали.
Основное отличие данной модели от модели Кука-Торранса
состоит в отсутствии множителя учитывающего самозатенение и множителя Френеля.
Фактически Вард в своей модели стремился добиться наиболее точного соответствия
данной модели экспериментальным данным (он также представил методику простого
измерения параметров этой модели). Таким образом, все параметры задавались не
вручную, а по результатам экспериментов, при этом модель очень хорошо
соответствовала реальным данным без введения дополнительных множителей 
и 
.
Заключение
В данной работе был описан ряд моделей локального
освещения. Все описанные модели были разделены на два класса: эмпирические и
теоретические. Эмпирические модели позволяют достичь значительного
быстродействия, но синтезируемое с их использованием изображение не является
физически точным. Основная сфера их применения: интерактивные трехмерные
приложения, программы для художников, спецэффекты в фильмах, реклама.
Теоретические модели являются результатом исследований в области оптики.
Применение таких моделей требует больших вычислительных затрат и достаточного
количества экспериментальных данных. Эти модели обеспечивают физически точный
расчет освещения, а при сочетании с алгоритмами расчета вторичного освещения
(алгоритмы глобального освещения) такие модели позволяют рассчитывать освещения
сложных сцен. Наиболее востребованы такие модели при проектировании освещения в
помещениях и в системах проектирования архитектурных сооружений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cristophe Schlick.
A survey of shading and reflectance models.
2.
Шикин Е. В., Боресков А.
В. Компьютерная графика. Полигональные модели. – М.: ДИАЛОГ МИФИ, 2000.
3. Christophe Schlick.
A Fast Alternative to Phong’s Specular Model
4. Kelly Dempski,
Emmanuel Viale. Advanced lighting and materials with shaders.
Simulating Object
Properties Simulation
Malashenkova I. V., Moisseikin
A. A.
In this paper a part of problem generating realistic 3D
images is examined, namely, local illumination models. All models are divided
on two categories: empirical and theoretical. Among empirical models the Phong
models and its modifications, dedicated to performance improving and taking
into account such phenomena as anisotropic reflection. Among theoretical models
Cook-Torrance model based on microfacet assumption and its parts: Frenel
factor, geometric attenuation factor, slope distribution function. Also Ward model is given, taking
into account anisotropic properties of
material.
Московский Энергетический Институт (технический университет),
филиал в городе Смоленске
Поступила в редакцию 12.12.2006.