ББК 74.202

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВУЗЕ, ОСНОВАННАЯ НА ВЗАИМОСВЯЗИ СО ШКОЛЬНЫМ КУРСОМ МАТЕМАТИКИ

© 2006 г. Добрина Е. А.

В школе и вузе существуют разные подходы к определению и формулировке понятий аналитической геометрии. В статье предлагается методика изучения аналитической геометрии в вузе, основанная на взаимосвязи со школьным курсом математики. Данная методика была опробована в Елецком государственном университете им. И. А .Бунина. Результаты эксперимента подтвердили её эффективность.
Ключевые слова: аналитическая геометрия, метод координат, связь обучения геометрии в школе и вузе, проблемный подход.

Преподавание аналитической геометрии в России имеет длинную и непростую историю. Первые попытки включить аналитическую геометрию в преподавание имели место в военных учебных заведениях еще в XVIII в., а в XIX веке она утвердилась на первом курсе физико-математического факультета университета, и до сих пор изучение геометрии в любом вузе начинается практически с аналитической геометрии. При этом надо отметить, что в стандартах второго и третьего поколения для педагогических специальностей, в отличие от классических университетских специальностей, аналитическая геометрия перестала существовать как самостоятельная дисциплина, она вошла в общий курс геометрии. Что касается школьного обучения, то еще до революции прилагались усилия включить элементы аналитической геометрии в программы реальных и коммерческих училищ, сцементировав из них  автономный  предмет. Так, в 1907/1908  учебном году  в обновлённую программу по математике восьмого дополнительного класса реальных училищ вошли разделы «Основания аналитической геометрии» и «Основания анализа бесконечно малых», усвоение которых оценивалось отдельной отметкой в аттестате. Было создано большое количество учебников по аналитической геометрии для средней школы (см., например, [4], [5], [8], [9], [10], [11], [12], [14], [15]).
В советской средней  школе  элементы аналитической геометрии уже были рассредоточены по всему курсу, и координатный метод вместе с функциональной линией пронизали всю  школьную математику с 5 по 11 класс.  Именно в таком амплуа аналитическая геометрия присутствует и в современном школьном курсе математики.
Несмотря на продолжительный и распространённый опыт преподавания этого раздела математики в школе и вузе, надо признать, что на сегодняшний день еще существует ряд проблем в обучении аналитической геометрии. Нередко преподавание аналитической геометрии в вузе начинается «с нуля», без опоры на школьные представления студентов. Ситуация усугубляется тем, что в школе и вузе даются внешне разные трактовки одним и тем же понятиям и фактам аналитической геометрии, у студентов зачастую создаётся иллюзия полного знания предмета, в то время как оно является ограниченным (достаточно привести примеры определения кривых второго порядка в школе и вузе). Особенно, если это касается будущих учителей математики, у последних создаётся искажённое представление о предмете, они считают, что в школе и вузе изучаются разные предметы (а не одна и та же математика, но на разных уровнях строгости и глубины). В вузовских учебниках геометрии редко и недостаточно отражаются связи со школьным курсом. Восстановление преемственных связей со школьным курсом не только позволит снять дисгармонию и противоречия в школьном и вузовском подходах обучения аналитической геометрии, но и, несомненно, будет способствовать повышению эффективности обучения.
Нельзя не отметить ряд исследований, направленных на устранение противоречий между школьным и вузовским подходами к обучению аналитической геометрии. Так, учёные И. Б. Болотин, Г. Е. Сенькина и С. А. Гомонов предлагают углубить школьные знания о методе координат [3]. В работе Н. А. Гончарик выявлены связи между школьным курсом математики и вузовским курсом аналитической геометрии, однако, к сожалению, не предложены конкретные механизмы реализации этих связей [6]. В учебнике Л. С. Атанасяна и В. Т. Базылева демонстрируются связи со школьным курсом математики посредством решения задач этого курса  средствами аналитической геометрии, т.е. связи реализуются не в начале изучения темы, а в процессе её закрепления [1]. Такой подход хотя и является весьма эффективным, но не исчерпывает все имеющиеся возможности.
На физико-математическом факультете Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина реализация взаимосвязей пронизывает все  этапы изучения темы, при этом в качестве основного механизма реализации выбран проблемный подход.
Как известно, изучение геометрии для педагогической специальности  начинается с разделов: «Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка. Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства». 
Уже при первом знакомстве с темой «Аффинная система координат» раздела «Метод координат на плоскости и в пространстве» студентам предлагается ответить на целую серию вопросов:
 «Что такое прямоугольная система координат на плоскости?»; 
«Какие математические объекты называются координатами?»;
 «Как найти расстояние между двумя точками плоскости?»; 
«Как вычислить координаты вектора?»; 
«По какой формуле вычисляются координаты середины отрезка?» и др. 
Далее говорится, что перечисленный круг вопросов решается в аналитической геометрии, и самым первым понятием, с которого начинается её изложение, является понятие координат. Причём наряду с прямоугольной системой  имеют место другие системы координат (косоугольная, аффинная, полярная). В школьном курсе ограничиваются лишь изучением прямоугольной системы координат. Затем излагаются основные понятия и факты аффинной системы координат, причём подчёркивается, что они имеют место и для прямоугольной системы.
Изучение прямой линии на плоскости начинается с постановки следующего ряда вопросов: 
«Что вы знаете о прямой?»; 
«Каким уравнением она задаётся?»; 
«Что показывает коэффициент k?» и др. 
Студентам показывается, что уравнение y=kx+b верное, но кроме него существуют и другие способы задания прямой, которые бывают весьма полезны при решении задач. На доске записывается уравнение Ax+By+C=0 и ставится вопрос: «Как вы думаете, что собой представляет график этого уравнения?». Формулируется теорема об общем уравнении прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и её доказательство идёт с опорой на школьные знания о способе задания прямой. Затем студенты знакомятся с другими способами задания прямой, но теперь уже в аффинной системе координат. А завершает изучение темы обсуждение следующих вопросов: «Какие интересные случаи прямых весьма часто применяются при изучении функции и элементов математического анализа?» (Ответ – асимптота, касательная). Таким образом, студенты приходят к правильному выводу, что изученная тема имеет широкие приложения, что все существующие способы задания прямой изоморфны. 
Для закрепления связей со школьным курсом геометрии весьма полезными оказываются задачи, предложенные в учебнике Л.С.Атанасяна и В.Т.Базылева («доказать, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны»; «доказать, что три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке»; «вычислить расстояние между прямыми, содержащими противолежащие стороны ромба, если длины его диагоналей равны a и b»  и др.).
Знакомство с кривыми второго порядка также ведётся с опорой на школьные знания и с помощью постановки проблемных вопросов. Так, при введении понятия гиперболы студентам задаются вопросы: 
«Что вы знаете о гиперболе?», 
«Как выглядит её изображение?». 
Студентам разъясняется, что «школьное» определение не является полным, и даётся определение гиперболы на основе характеристического свойства, вводится понятие фокусов, фокальных радиусов, выводится каноническое уравнение гиперболы, устанавливаются её свойства и после изображения гиперболы снова ставятся проблемы: 
«1. Найти отличия между гиперболой, изученной в школе, и построенной на лекции»; 
«2. Можно ли из построенного изображения гиперболы получить вид гиперболы, известной из школы?»; 
«3.Каким образом это можно сделать?»;
«4.Каким образом из канонического уравнения гиперболы можно получить уравнение обратной пропорциональности?».  
В итоге изучения темы студенты склоняются к важному результату, заключающемуся в том, что школьные представления о понятии гиперболы не противоречат изученному на лекции, что «школьная гипербола» является частным случаем более общего понятия.
Изучение параболы проводится по аналогичной схеме и начинается опять с постановки вопросов: «Что вы знаете о параболе?»; «Как выглядит её изображение?». Обращается внимание на ограниченность школьного представления о параболе, даётся формулировка понятию на основе характеристического свойства. Далее материал излагается традиционно: вводится понятие фокуса, директрисы, фокального параметра, выводится каноническое уравнение параболы, устанавливаются её свойства и на их основе строится изображение этой кривой. Затем студентам предлагается ответить на вопросы: 
«1.Является ли полученное изображение графиком однозначной функции?»; 
«2.Чем отличается изображение параболы, известное из школы, и полученное на лекции?»; 
«3. Можно ли из построенного изображения параболы получить вид параболы, известной из школы?»; 
«4.Каким образом это можно сделать?»; 
«5.Каким образом из канонического уравнения параболы можно получить формулу задания квадратичной функции?». 
В результате изучения обеих кривых студенты делают важное обобщение о том, что разночтения между школьными и вузовскими определениями понятий носят «внешний» характер, и на самом деле эти определения не противоречат друг другу. 
Мы привели лишь отдельные примеры реализации взаимосвязей школьного курса математики и вузовского раздела аналитической геометрии. Например, можно добавить, что ещё недостаточно разработана методика устранения разногласий в школьном и вузовском подходе к определению понятия вектора. Все эти разночтения мы стараемся сгладить при изучении первых разделов геометрии. Опыт проведения лекций и занятий по описанной методике в течение нескольких лет на физико-математическом факультете ЕГУ им. И. А. Бунина (специальность 050201 Математика с доп. спец. 050202 Информатика и 050201–  Математика с доп. спец. 050203 Физика) позволяет утверждать об её эффективности. Можно с полной уверенностью сказать, что интерес к изучению предмета и осознанность его усвоения повысились.
В результате обучения аналитической геометрии по описанной методике происходит повторение знаний, приобретённых в школе, их обогащение и, главное, формирование у студентов новых взглядов на вопросы школьной математики, что является для будущих учителей математики особенно важным.

ЛИТЕРАТУРА

1.Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1986. Ч.I.
2.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2005.
3. Болотин И. Б., Сенькина Г. Е., Гомонов С. А. Математика: учебное пособие для учащихся 8-11 классов / И. Б. Болотин, Г. Е. Сенькина, С. А. Гомонов. Серия «Библиотека Смоленской физико-математической школы». Под ред. Г. Е. Сенькиной. – Выпуск 5. – 2-е изд. – Смоленск: СГПУ, 2004.
4. Веревский Г. И. Основания аналитической геометрии. Учебник для дополнительного класса реальных училищ / Г. И. Веревский. – Николаев, 1907. 
5.	Воинов А. Д. Основания аналитической геометрии /А. Д. Воинов. Изд. 3. – Павловск-на-Дону: Типография И. П. Иванова, 1908.- 88, Ivс.
6. Гончарик Н. А. О связи преподавания аналитической геометрии в педагогическом вузе с преподаванием математики в школе /Н. А. Гончарик //Связь преподавания высшей математики в педагогическом вузе с преподаванием математики в школе. – Минск: Изд-во Министерства  высшего, среднего специального и профессионального образования БССР, 1963. С.22.- 40.
7.Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 032100 – Математика (квалификация- учитель математики). Москва, 2005 г.// http://www.edu.ru/db/portal/spe/plan_zip/032100p_2005.html (Российское образование. Федеральный портал).
8.	Кильдюшевский Н. П. Сборник упражнений по аналитической геометрии на плоскости с приложением формул и статьи «Конические сечения». Применительно к программе  реальных училищ / Н. П. Кильдюшевский . – Казань, 1909. 
9.	Минин А. П. Сборник задач по аналитической геометрии /А. П. Минин. Изд. 2. - М., 1910. 
10.	Никонов М. П. Сборник задач и примеров по аналитической геометрии на плоскости в прямоугольных координатах / М.П.Никонов. – Н. Новгород, 1917.  
11.	Павлинов П. И. Основания аналитической геометрии на плоскости / П. И. Павлинов. - Рига, 1908.  
12.	Пениожкевич К. Б. Основания аналитической геометрии. Курс дополнительного класса реальных училищ. По программам 1907г./ К. Б. Пениожкевич. – М.-СПб.: Изд—е  книжного магазина В.В.Думнова,1911. 
13.	Погорелов А. В. Геометрия /  А. В. Погорелов. – М.: Наука, 1983.
14.	Поляков С. Н. Начала аналитической геометрии на плоскости. Пропедевтический курс /  С. Н. Поляков.  М., 1916.
15.	Рашевский К. Н. Основания аналитической геометрии. Учебник для VII класса реальных училищ, сост. применительно к программе МНП / К. Н. Рашевский. Изд. 8. - М., 1918. 
16.	Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая половина XIX – первые семнадцать лет ХХ вв.): Монография. – Елец: ЕГУ им.И. А. Бунина, 2002.

METHODS OF STUDYING ANALYTIC GEOMETRY AT INSTITUTIONS OF HIGHER EDUCATION, BASED ON THE INTERRELATION WITH THE
SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS
  
Dobrina E. A.
There exist different approaches to the definition and formulation of the notions of analytic geometry at schools and at institutions of higher education. The article gives the methods of studying analytic geometry at the institutions of higher education, based on the interrelation with the school course of mathematics. The given methods were tested in Yelets state Bunin university. The results of the experiment confirmed the effectiveness of the methods.
Key words: analytic geometry, the coordinates method, the relation of teaching geometry at school and at institutions of higher education, problem approach.

Кафедра математического анализа и элементарной математики Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина
Поступила в редакцию 5. 12. 2006.