ББК 74.202

К 44

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ПЕДАГОГИКЕ. ОБУЧЕНИЕ В ГРУППЕ

(kiseleva.doc)

 

© 2006 г. Киселева О. М.

 

Рассматриваются вопросы, связанные с математизацией научных дисциплин, универсальностью математических методов, возможностью применения математических моделей в педагогике. Предлагается пример применения математических моделей к процессу обучения в группе: описывается алгоритм  выбора траектории обучения группы для достижения требуемого уровня знаний по заданному материалу с опорой на теорию графов.

Ключевые слова: математическое моделирование, математические методы в педагогике, методы обучения в педагогике, графовые модели, обучение в группе.

 

Уже давно стало распространенным утверждение об универсальности математических методов. Как правило, оно иллюстрируется целым рядом задач, в решении которых применение математических методов сыграло основную роль. Сегодня математика, в целом, продолжает завоевывать все новые и новые области применения. Математическая модель, подчас может заменить даже экспериментальную базу, установку.

Не нарушая внутренней логики собственного развития, математика органически сливаться с другими науками. Этап математизации дисциплины начинается тогда, когда ей не хватает того естественного языка, с которого начиналось ее становление, когда возможности этого языка для прогресса науки оказались исчерпанными. Так, например, физика перешагнула этот рубеж в эпоху Ньютона; нельзя изложить классическую механику, не прибегая к языку математических моделей. Но введение нового языка всегда требует перестройки дисциплины. Нормальным является то, что развитие любой науки влечет за собой некоторые преобразования. С процессом математизации появляются новые разделы, изменяется значение эксперимента, увеличивается доказательность гипотез и т.д.

Несмотря на потребность в применении математических методов в педагогике, специалисты в области математики отмечают, что применение математических методов в социальных и гуманитарных науках связано с большими трудностями, так как выделение однородного качества и его математическое изучение затруднены тем, что при этом приходится учитывать и такие субъективные факторы, как воля, цели, ценностные ориентировки и мотивации людей. Основная трудность в этом случае состоит в построении качественной теории процессов. Если не учитывать этого, возникает опасность бесплодного увлечения формулами и математическим аппаратом, за которыми исследователи перестают видеть реальное содержание изучаемых процессов.

Фактически речь идет об опасности узкого подхода к сложнейшим, многофакторным явлениям социального, а, следовательно, и педагогического порядка. На необходимость применять методы точных наук с учетом специфики объектов такого применения указывают многие крупные ученые. Академик Ю.А.Митропольский отмечает: "Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого реального содержания".

Таким образом, можно утверждать, что применение математических методов в педагогике ограничено спецификой гуманитарной сферы. Тем не менее, А.Н. Колмогоров не отрицает возможности применения математических методов в науках, изначально достаточно далёких от математики, в том числе и гуманитарных.

Одним из важных математических методов является математическое моделирование. Математические модели представляют собой многофункциональное дидактическое средство, способствующее решению разнообразных педагогических задач. Возможности этого средства остаются до сих пор недостаточно раскрытыми. Несмотря на то, что такие модели являются формальным инструментарием познания, его использование способствует достижению не только образовательных, но и развивающих дидактических целей. Это объясняется тем, что модели, неразрывно связанные с конкретным содержанием учебного предмета, помогают его представить ярко, выпукло, соединив строгость научных рассуждений с глубоким научным анализом структур изучаемых процессов и явлений любой качественной природы. Рассмотрим пример применения математических моделей к процессу обучения в группе.

Математическое образование в учебных заведениях связано прежде всего с обучением в группе. Необходимой предпосылкой эффективности группового обучения является адекватный подбор последовательности (траектории) изучения элементов знания из учебного пособия в соответствии с поставленными целями.

Обучение в группе допускает различные стратегии. Одна из них, например, предполагает изучение всех элементов знания за исключением знаний усвоенных каждым учеником группы. При такой стратегии практически каждому ученику приходится затрачивать время на повторное изучение уже известных ему элементов знания. Другая стратегия группового обучения предполагает изучение нового материала, ориентируясь на «средний» уровень знаний учащихся группы.

Вторая стратегия обучения в большей степени учитывает начальную подготовку учащихся, но требует разработки индивидуальных траекторий выравнивания знаний каждого из учеников.

Ниже приводятся модели знаний группы учеников, ориентированные на первую и вторую стратегии обучения.

Модель знаний группы учеников

Пусть GU₁, GU₂, …, GU_k- графы, представляющие модели знаний учеников; U₁, U₂, …, U_k; GС - модель цели обучения; NZ - набор задач. Опишем алгоритм построения ориентированной на первую стратегию обучения модели знаний группы U_g учащихся:

1. окрасить вершины и дуги графа G = GС в черный цвет;

2. все вершины и ребра графа G, входящие в модель знаний каждого ученика U_g, окрасить в зеленый цвет.

Полученный таким образом цветной граф называется моделью знаний группы U_g учащихся ассоциированной с целью обучения GС.

Второй алгоритм построения модели знаний группы ориентирован на вторую стратегию обучения. При такой стратегии материал, усвоенный большей частью группы, изучается только учащимися плохо знакомыми с данным материалом:

1. окрасить вершины и дуги графа G = GС в черный цвет;

2. все вершины и ребра графа G, входящие в половину и более моделей знаний учеников GU_i (i = 1,.., k), окрасить в синий цвет;

3. все вершины и ребра графа G, входящие в каждую из моделей знаний учеников GU_i, где i = I, ..., k, окрасить в зеленый цвет.

Получим цветной граф GU_g, который называется ассоциированной с целью обучения GС моделью знаний группы U_g учащихся и обозначается МЗГ(U_g).

Ликвидация пробелов в знаниях учащихся производится по индивидуальной траектории выравнивания для каждого из учащихся.

Траектория индивидуального выравнивания зияний

Разработка траектории индивидуального выравнивания знаний необходима для установки единого уровня группы перед дальнейшим обучением. Для каждого из обучаемых может быть построена траектория дополнительного изучения материала в зависимости от его базовых знаний.

Пусть граф GU представляет модель знаний ученика U, граф GU_g -модель знаний группы учеников. Опишем алгоритм вычисления траектории индивидуального выравнивания знаний конкретного ученика U, опираясь на модель знаний группы GU_g = МЗГ(U_g), модель знаний ученика GU = МЗУ(U) и набор задач NZ:

1. все синие вершины и ребра графа G = GU_g, не входящие в модель знаний ученика GU, окрасить в красный цвет;

2. все синие вершины и ребра окрасить в зеленый цвет;

3. все зеленые вершины пометить числом 0. Положить Num = (0).

В Num хранятся номера, определяющие порядок изучения теоретического материала и решения задач.

Чтобы достичь цели обучения надо окрасить все красные элементы графа в зеленый цвет. При этом допустимо использовать правила окраски R1 и R2.

(R1) Вершина А графа может быть окрашена в зеленый цвет, если все непосредственно предшествующие ей вершины зеленые. Перекрашенная вершина А помечается натуральным числом n следующим за самым большим числом из множества Num. Число и добавляется в Num.

(R2) Если красное ребро х соединяет две вершины А и В графа и среди задач NZ имеется задача Z, связывающая элементы А и В, то ребро графа окрашивается в зеленый цвет, а задаче Z присваивается номер n следующий за самым большим числом из множества Num. Число n добавляется в Num.

Правила R1 и R2 допускается использовать в произвольном порядке (который можно менять в зависимости от промежуточных целей обучения).

Если, используя правила R1 и R2, удается избавиться от красного цвета в графе, то траектория обучения получена. Иначе набор задач NZ недостаточен для достижения цели. В этом случае для достижения целей обучения набор задач NZ должен быть пополнен новыми задачами, связывающими каждую пару элементов знания А и В, соединенных в графе красным ребром.

Траектория обучения группы

Опишем алгоритм вычисления траектории обучения группы U_g учащихся, исходя из модели теоретического материала G = МТМ(Р), модели знаний группы учеников GU_g = МЗГ(U_g), модели цели обучения GС и набора задач NZ:

1. окрасить вершины и дуги ориентированного графа G = МТМ(Р) в черный цвет;

2. все вершины, входящие в граф GС, покрасить в красный цвет. Добавить в граф G все ребра графа GС, окрасив их в красный цвет. Получившийся цветной мультиграф обозначить GТС;

3. все вершины и ребра мультиграфа GТС, входящие в модель знаний группы учеников GU_i и окрашенные в ней зеленым цветом, окрасить в зеленый цвет;

4. все зеленые вершины пометить числом 0. Положить Num = {0}. В Num хранятся номера, определяющие порядок изучения теоретического материала и решения задач;

5. используя упомянутые выше правила окраски R1 и R2, перекрасить все красные элементы мультиграфа GТС в зеленый цвет.

Если в результате исполнения алгоритма удается избавиться от красного цвета в мультиграфе GТС, то траектория обучения группы построена. Иначе набор задач NZ недостаточен для достижения цели. В этом случае для достижения целей обучения набор задач NZ должен быть пополнен новыми задачами, связывающими каждую пару элементов знания А и В, соединенных в мультиграфе GТС красным ребром.

В заключение отметим, что с автоматизацией работы учителя связано множество вопросов. Мы надеемся, что предложенные модели помогут решить некоторые из них.

Литература

1.     Емельченков Е. П. АСПРУ. Построение индивидуальной траектории обучения. II-я международная научно-методическая конференция «Дистанционное обучение – образовательная среда XXI века». Минск. БГУИР, 2002.

2.     Бояринов Д. А., Емельченков Е. П. О формализации некоторых теоретических понятий методики преподавания математики. Информатизация общества и проблемы образования: Материалы научно-практической конференции (25-27 марта 2002 г.). Москва-Смоленск. Изд. ИПИРАН, СГПУ, 2002.- 134с. С. 100-123.

3.     Киселева О.М. О некоторых вопросах САПР учителя // Научные труды международной научно-практическая конференции ученых МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ. – Т. 4. Педагогика и методика. – Москва-Луганск: Изд-во МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ, 2004. – С. 113-117.

4.     Лебедева И.П. Математические модели как средство обучения // Педагогика. – 2004. – № 2. – С. 11-19.

5.     Краевский В.В. Научное исследование в педагогике и современность // Педагогика. – 2005. – № 2. – С. 13-20.

6.     Армянинова Н.А. История развития и опыт применения математических методов в отечественной педагогике послевоенного времени: Дис. …канд. пед. наук – СПб., 1999.

 

MATHEMATICAL MODELLING IN PEDAGOGY.
TEACHING A GROUP

 

Kiseleva O. M.

 

 

The points under discussion are connected with the  process of mathematising scientific disciplines,  universal nature of mathematical methods,  opportunities for using mathematical models in Pedagogy.  To illustrate this an example is given- how to  use mathematical models in the process of teaching a group: description of  the algorithm  for choosing  trajectory of teaching a group with the basis on the theory of graphs, which enables to achieve  the required level of  knowledge  of the given material.

Key words: mathematical modeling, mathematical methods in Pedagogy, methods of teaching in Pedagogy, graph model, teaching a group.

 

Кафедра методики обучения математике, физике и информатике

Смоленский государственный университет

Поступила в редакцию 6.09.06.