При исследовании биосистем часто остается в стороне проблема их организации, не ставится задача поиска универсальных критериев, в соответствии с которыми эти системы организованы. Многие исследователи все еще рассматривают организацию живой системы как некую “данность”, не подлежащую изучению. Однако в отличие от несколько расплывчатого понятия “система” понятие “организация” может быть формализовано, представлено математическими выражениями. Одним из инструментов, позволяющих вскрыть основу организации живых систем – законы их композиции - является учение о фракталах. Основоположник фрактальной геометрии Б. Мандельброт поясняет понятие фрактала как некоего образования, самоаффинного в том или ином смысле [3]. Фракталы самоподобны, их формы воспроизводятся на различных масштабах. Гемоартериальное русло сердца человека и млекопитающих соответствует этому определению. Оно представляет собой “дерево”, основополагающей структурной единицей которого является сосудистый “тройник” (рис. 1). Каждый тройник состоит из “ствола” и двух “ветвей”; каждая ветвь, в свою очередь, является стволом и разделяется на две ветви и т.д. Было показано [1, 4, 5], что бифуркация является оптимальным вариантом ветвления сосуда (по сравнению, например, с трифуркацией и т.д.).

Рис. 1. Артериальное “дерево”

По мере продвижения крови каждая бифуркация повторяет предыдущую в некотором уменьшенном масштабе. Нами было установлено [4, 5], что последовательное сопряжение тройников сердца связано с оптимальными соотношениями параметров ствола и ветвей. Элементарной единицей тройника является сосуд с движущейся кровью.

Оптимизация сосуда с движущейся кровью

В каждом сосуде имеет место двоякий расход энергии: 1) механической - на перемещение крови и 2) “химической” - на обеспечение процессов метаболизма в крови и генерации эритроцитов [2]. Затраты механической и химической энергии в сосуде имеют обратную зависимость от его диаметра. На основе анализа экспериментальных данных было установлено [5], что во всех сердечных артериальных и капиллярных сосудах суммарный расход энергии по отношению к единичному объему транспортируемой крови минимален (режим “минимальной работы”). Режим “минимальной работы” обеспечивается “подбором” оптимального диаметра сосуда для заданной величины кровотока, симметрией движения эритроцитов относительно продольной оси сосуда, ламинарно-вращательной формой движения и оптимальной температурой крови. Кроме того, в каждом сосуде поддерживается оптимальная величина гематокрита и оптимальное соотношение скоростей составляющих крови: плазмы и эритроцитов [5].

Оптимальные соотношения между параметрами архитектоники, гемодинамики и биохимии для отдельного сердечного j-сосуда могут быть представлены выражениями [5]

l_J/d_Jt_J = (1/8)Ц(b_J/x _J) = 162 с^-1, (1)

W_MJ/W_XJ = 0,5, (2)

где d_J, l_J, t_J - соответственно диаметр и длина сосуда, время пребывания эритроцитов в j-сосуде, x _J - вязкость крови, b_J - расход химической энергии в единичном объеме крови за единицу времени, W_MJ, W_XJ – соответственно расход механической и химической энергии за единицу времени в единичном объеме движущейся крови. Величина l_J/d_Jt_J и отношение W_MJ/W_XJ являются постоянными оптимальными величинами (инвариантами) для всех артериальных сосудов сердца млекопитающих, включая и капилляры [5].

Оптимизация тройников

Артериальное русло состоит из тройников, имеющих асимметричную или симметричную форму. Первые относятся к генерациям крупных, средних и мелких сердечных артерий, вторые – к генерациям микрососудов.

Конструктивные особенности всякого тройника можно представить тремя коэффициентами:

коэффициентом ветвления – k = (d²₁ + d²₂)/d²_С,

и коэффициентами относительного сечения ветвей - H₁ = d²₁/(d²₁ + d²₂), H₂= d²₂/(d²₁ + d²₂),

где d_С, d₁, d₂, - соответственно диаметры ствола, 1 и 2 ветвей. Параметры H₁ и H₂ позволяют оценить степень асимметрии ветвления, а коэффициент k показывает превышение суммарной площади поперечного сечения ветвей по отношению к площади ствола. Во всех сердечных тройниках 1<kЈ1,26 /6/; что соответствует режиму “минимальной работы” в стволе и ветвях. Для асимметричных тройников 1<kЈ1,26, Н₁ №Н₂, для симметричных k»1,26, Н₁=Н₂=0,5. Оптимальная архитектоника сердечного тройника, и асимметричного и симметричного, соответствует выражению [5, 6]

(kH₁)^3/2 + (kH₂) ^3/2 = 1. (3)

Длина и диаметр ствола связаны с диаметром и длиной ветвей отношениями [5]:

где d_C, d₁, d₂, l_C, l₁, l₂- соответственно диаметры и длины ствола, 1 и 2 ветвей.

Асимметричные тройники. Характерной особенностью сосудов асимметричных тройников сердца является постоянство отношения диаметра к длине: l_C/d_C = l₁/d₁ = l₂/d₂ = const [6]. Отметим, что вязкость крови в асимметричных тройниках практически постоянна (не зависит от диаметра). Вследствие этих особенностей в этих тройниках имеет место феномен самоподобия - неизменное суммарное “воспроизводство ствола ветвями” по объему крови и сосудистого материала [4, 5]. Это означает, что суммарный объем крови, заключенный в сосудах ветвей и суммарная масса стенок ветвей равны величине этих параметров в стволе. Аналогично, суммарный расход энергии за единицу времени в ветвях асимметричного тройника равен ее расходу в стволе,

(W₁ + W₂)/W_С = 1, (4)

где W_С, W₁, W₂ – соответственно общие затраты механической и химической энергии за единицу времени в стволе и ветвях. Каждая из ветвей “исходного” тройника является стволом для последующих тройников и т.д. При последующем снижении калибра тройников в каждой новой генерации имеет место "суммарное воспроизводство" самого первого, исходного, ствола как по энергии, так и по живому веществу. Фрактальное подобие последовательности тройников представлено выражениями (1) – (4). Оптимальность этого подобия последовательности тройников заключается в том, что все асимметричные тройники имеют структуру, позволяющую “пропускать” через себя "свой" кровоток с минимальными затратами энергии, крови и сосудистого материала.

Симметричные тройники составляют микроциркуляторный участок артериального русла сердца [6]. Именно на этом участке происходят обменные процессы, в том числе и газообмен, между тканями и кровью. На “симметрийном” участке по-прежнему l₁/d₁ = l₂/d₂, но эта величина всегда больше, чем l_C/d_C [6]. Для каждой последующей генерации тройников эта тенденция сохраняется (при этом отношения l₁/d₁, l₂/d₂ и l_C/d_C по мере продвижения к капиллярам возрастают). Особенность этих тройников состоит в том, что в них величина коэффициента k, отношения d_С/d₁ и d_С/d₂ равны числу 1,26. Отметим связь этого числа с золотым числом 1,618 (1,26»Ц1,618=1,27). Таким образом, оптимальная архитектоника симметричных тройников связана с золотыми числами. Отметим также, что изменение скорости отдачи кислорода отдельным эритроцитом по мере его продвижения по цепочке обменных микрососудов вплоть до капилляра происходит в соответствии с рядом чисел Фибоначчи [4, 5]. В асимметричных тройниках “золотые” соотношения отсутствуют.

Дополнительное, “нестандартное”, удлинение ветвей должно было бы привести к дополнительным затратам энергии. Однако на обменном участке в соответствии с эффектом Фареуса-Линдквиста вязкость крови по мере уменьшения диаметра обратно пропорционально "дополнительному" удлинению сердечных микрососудов, что позволяет устранить дополнительные потери энергии [5]. Как следствие этого, в симметричных тройниках, так же как и в асимметричных, имеет место суммарное “воспроизводство” ветвями ствола по затратам энергии. Этим обеспечивается "энергетическое" самоподобие всех тройников независимо от калибра сосудов и вариантов их ветвления. Выражения (3) и (4) справедливы также и для варианта симметричного ветвления. Фрактальное подобие этих тройников представлено выражениями (1) – (4).

Заключение

Основной функцией движущейся крови является транспорт кислорода к месту его потребления. Анализ организации генераций асимметричных и симметричных тройников позволил установить основу фрактальной структуры артериального “дерева” сердца. “Сквозное” самоподобие всех тройников, и асимметричных и симметричных, имеет универсальную математическую форму, представленную в отношениях (1) - (4).

Симметричная бифуркация по сравнению асимметричной (l₁/d₁= l₂/d₂ превышают отношение l_C/d_C) позволяет получить дополнительную, по сравнением с асимметричным вариантом, суммарную поверхность ветвей. Кроме того, в симметричном тройнике суммарная обменная поверхность ветвей больше, чем в асимметричном варианте. Прирост дополнительной обменной поверхности в симметричных тройниках происходит без дополнительных затрат механической и химической энергии. Это имеет тем большее значение, что общая поверхность микрососудов во много раз превосходит поверхность “транспортных”, необменных, сосудов.

В конечном счете, можно сказать, что оптимальная фрактальная структура гемоартериального “дерева” сердца обеспечивает “дешевый” транспорт единичного объема кислорода к месту его потребления при минимальных затратах энергии, крови и сосудистого вещества.

Литература

1. Глотов В.А. Структурный анализ микрососудистых бифуркаций. Смоленск, АО Амипресс, 1995.
2. Образцов И.Ф., Ханин М.А. Оптимальные биомеханические системы. М., Медицина, 1989.
3. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М., Мир, 1993.
4. Цветков В.Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. Пущино, 1997.
5. Цветков В.Д. Кислородное обеспечение сердца и принцип кислородного обеспечения. Пущино, 2004.
6. Шошенко К.А., Голубь А.С., Брод В.И. и др. Архитектоника кровеносного русла. Новороссийск, Наука, 1982.

The fractal organization of heart hemoarterial bed and the optimal similarity ratios

 Tsvetkov V. D.

Institute of Theoretical and Experimental Biophysics, RAS

142290 Pushchino, Moscow Region, Russia E-mail: tsvetkov@iteb.ru

The hemoarterial bed of the heart has a fractal structure, i.e. it looks like a “tree” the basic element of which is a “T-joint”. The T-joint consists of a “trunk” and two “branches”. The parameters of the architectonics and hemodynamics of the trunk and the branches are conjugated in such a way that the transport of a unit volume of oxygen through the T-joint occurs with minimum expenditures of energy, blood and vascular material. The optimum fractal structure of the hemoarterial tree enables the oxygen supply of the cardiac muscle with minimal expenditures of energy and living substance.

Адрес:

Цветков Виктор Дмитриевич

142290 г.Пущино Московской обл.

микрорайон “В”, 31, кв.30

E-mail:tsvetkov@iteb.ru

Институт экспериментальной и теоретической биофизики РАН,

142290 Пущино Московской обл., просп. Науки, 3

Поступила в редакцию 10.05.2006.