Математическая морфология.
Электронный математический и
медико-биологический журнал. - Т. 8. -
Вып. 4. - 2009. - URL:
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-24-html/TITL-24.htm
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-24-html/cont.htm
УДК
57.017.64
Рост живых организмов __ инерционный процесс
Ó
2009 г. Седова Г. П.
Механическое движение тела, установление тока в электрической цепи с
индуктивностью, количественное нарастание массы живого организма - эти три
процесса, несмотря на их разную природу, имеют одно общее свойство - они
обладают инерцией. Это выражается в том, что величина, определяющая состояние
данного объекта (скорость тела, величина тока, масса живого организма)
изменяется не плавно, а в результате затухающего колебательного процесса, когда
за каждым изменением этой величины следует торможение этому изменению. По этой
причине процесс установления предельного значения затягивается на время, тем
большее, чем больше мера инерции данного объекта (масса тела, индуктивность, начальный
период удвоения массы). На основе аналогии между процессом нарастания тока в
электрической цепи и ростом живого организма предложена электрическая модель
роста живых организмов.
Ключевые слова: инерционные процессы, электрическая
модель роста живых организмов.
Содержание
1.
Понятие инерции.
2.
Инерция в физике.
3.
Инерция в биологии.
Понятие
инерции
Инерция или инертность __
понятие, известное всем из школьного курса физики. Оно означает медлительность,
запаздывание изменения состояния какой __ либо системы после
действия вызывающих это изменение факторов. Инерция __ фундаментальное
свойство материи. Некоторые ученые считают, что она является реакцией
физического вакуума на изменение движения в нем.
Инерция является общенаучным
понятием, свойственным многим явлениям природы, в том числе и биологическим процессам.
Цель настоящей статьи __
показать, что количественный рост живых организмов также является инерционным
процессом.
Но прежде чем перейти к
биологии, обратимся к известным примерам проявления инерции в физических
процессах.
Инерция в
физических процессах
Инерция в
механике
Суть инерции в применении к
механическим процессам выражена первым законом Ньютона: «Всякое тело сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения пока и поскольку оно
не понуждается приложенными силами изменить это состояние».
Так устроен окружающий нас
материальный мир, что если телу, полностью изолированному от других тел,
сообщить какой-либо импульс, то это тело будет двигаться равномерно и прямолинейно
бесконечно долго, и для поддержания этого движения не нужно воздействия
какой-либо силы. А для того, чтобы изменить состояние тела, например, привести
его в состояние покоя, нужно приложить силу.
Но в природе не существует
тел, полностью изолированных от действия других тел. Поэтому в реальности даже
для того, чтобы тело двигалось равномерно и прямолинейно, к нему нужно
приложить силу, необходимую для компенсации действия на него других тел.
Например, автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно, должен преодолеть сопротивление
воздуха и трение автомобильных шин о поверхность дороги, по которой он
движется. Эту работу выполняет двигатель автомобиля.
Если двигатель отключить, то
на машину будет действовать только сила сопротивления движению, не скомпенсированная
силой тяги. В результате автомобиль остановится, но не мгновенно, а какое-то
время он еще будет двигаться по инерции. Если бы мы могли рассмотреть процесс
остановки в замедленном масштабе времени, то он выглядел бы следующим образом.
При торможении скорость
автомобиля начинает снижаться, сила сопротивления, находящаяся в прямой
зависимости от скорости, уменьшается. Уменьшение силы сопротивления ведет к
тому, что дальнейшее снижение скорости замедляется, а следовательно, и замедляется
рост сопротивления движению, в результате снижение скорости происходит быстрее,
что в свою очередь, ведет к возрастанию силы сопротивления и т.д. Эти колебания
очень быстро следуют друг за другом, они незаметны для глаза.
Аналогичные явления
происходят у любого движущегося транспорта при его торможении.
Итак, когда у движущегося
транспорта отключается сила тяги, то процесс его остановки приобретает характер
затухающих колебаний. Движущееся тело как бы все время сопротивляется изменению
своего движения. Но поскольку амплитуда этих колебаний непрерывно уменьшается,
транспорт, в конце концов, остановится. Сколько времени будут длиться эти затухающие
колебания, зависит помимо скорости от меры инерции движущегося тела, т.е. от
его массы.
В качестве другого примера
проявления инерции в механике можно привести задачу о падении шарика в вязкой
жидкости под действием силы тяжести. Здесь скорость падения шарика достигает
своего постоянного, установившегося значения не мгновенно, а также в результате
колебательного процесса изменения скорости.
В начале скорость падающего шарика растет, как следствие, растет и сила трения, направленная против движения, в результате чего дальнейшее увеличение скорости замедляется, замедляется и рост сопротивления движению, падение ускоряется и т.д. Так как амплитуда этих изменений все время уменьшается, то процесс заканчивается установлением постоянной скорости падения, зависящей от соотношения между силой тяжести и коэффициентом трения.
Инерция в
электрических цепях
Типичным примером проявления
инерции в электрических цепях является установление электрического тока в
контуре с постоянной электродвижущей силой E и индуктивностью L ,
а также убывание тока при размыкании этой цепи (рис. 1).
Рис . 1
В отсутствии индуктивности
ток в цепи устанавливается мгновенно при замыкании ключа К, т.к. скорость распространения электрического поля очень велика
300 000 км/c. Но если в цепи имеется индуктивность, время установления тока в цепи
затягивается тем больше, чем больше индуктивность. Так, например, лампа
накаливания загорается одновременно с включением выключателя, а лампа дневного
света __ с заметным на глаз замедлением потому, что в ее цепи
имеется катушка индуктивности (дроссель).
При замыкании цепи ток
начинает возрастать, вокруг проводника с током возникает переменное магнитное
поле. По закону Фарадея при всяком изменении магнитного потока, сцепленного с
контуром, в нем возникает электродвижущая сила. Когда эта электродвижущая сила
возбуждается в контуре в результате изменения тока в этом же контуре, она называется
электродвижущей силой самоиндукции, а создаваемый ею ток получил название индукционного
тока. Направление этого тока определяется правилом Ленца, согласно которому,
индукционный ток имеет такое направление, что создаваемый им магнитный поток
противодействует изменениям, вызвавшим появление электродвижущей силы самоиндукции;
т.е. если ток в контуре возрастает, то индукционный ток тормозит его
возрастание, если же ток в контуре убывает, то индукционный ток тормозит его
убывание. В результате ток в цепи установится в соответствии с законом Ома, но
произойдет это после того, как прекратятся колебания изменений силы тока.
Аналогичное по сути явление
происходит при размыкании цепи, содержащей индуктивность. Как только сила тока
в цепи станет убывать, возникнет э.д.с. самоиндукции, тормозящая это убывание;
замедление убывания силы тока мгновенно вызовет противодействие этому
замедлению, т.е. сила тока станет убывать быстрее, затем опять медленнее и т.д.
Амплитуда этих колебаний
убывает и ток в цепи исчезнет, но также как и
в случае установления силы тока произойдет это через некоторое время.
Т.о., установление тока в
цепи с индуктивностью при ее включении, а также исчезновение тока в той же цепи
при ее отключении представляет собой колебательный процесс с затухающей
амплитудой. Необходимо подчеркнуть, что тормозящая причина действует не на саму
устанавливающуюся величину, а на ее изменение, все время противодействуя этому
изменению.
Итак, наличие индуктивности
в электрическом контуре приводит к тому, что контур приобретает электрическую
инерцию, которая выражается в том, что любое изменение тока тормозится, притом
тем сильнее, чем больше индуктивность контура.
Инерция в
биологии
Акад. И. И. Шмальгаузен, занимаясь изучением количественного роста живых организмов, пришел к выводу о том, что процесс роста имеет колебательный характер, т.е. за подъемом скорости роста следует его замедление и наоборот. «Колебания интенсивности роста носят характер затухающих колебаний» .
«В целом рост проявляется как ритмично протекающий
процесс. Каждое торможение роста прерывается новым подъемом роста, чтобы затем
снова быть прерванным новым периодом депрессии» (И. И. Шмальгаузен).
Такое чередование периодов
подъема и спада характерно для инерционных процессов. Т.о., несмотря на то, что
акад. Шмальгаузен в своих работах не употреблял понятие инерции, он в сущности
подошел к нему. Возникает аналогия процесса роста живого организма с только что
рассмотренным нами процессом
установления тока в электрической цепи с индуктивностью. Интенсивность роста мы
будем характеризовать не абсолютным увеличением массы организма, а числом
удвоений начальной массы. График изменения тока в цепи с индуктивностью в
функции от времени и график изменения числа удвоений массы живого организма в
функции от времени имеют одинаковый вид. Аналогия между двумя этими процессами
дает основание говорить, как сейчас принято, об электрической модели роста
живых организмов. Оба эти процесса - инерционные, но только установление тока в
цепи с индуктивностью заканчивается за несколько секунд или даже за доли секунды,
в то время как живой организм достигает своего предельного размера в зависимости
от вида организма в течение нескольких суток, месяцев, лет, десятилетий.
Поэтому можно говорить, что живой организм обладает очень большой инерцией. Для
того, чтобы показать, что оба рассмотренных процесса аналогичны, сведем данные
по этим процессам в таблицы 1 и 2.
Таблица 1 |
|
Нарастание тока в цепи с
постоянной э.д.с. и индуктивностью в
функции от времени |
|
Формулы |
|
|
|
График |
|
|
|
Производные функции |
|
и т.д. |
Таблица 2 |
Число удвоений начальной массы в функции от возраста живого организма |
Формулы |
|
или
или |
График |
|
|
Производные функции |
|
и т.д. |
, где 
Пояснение к таблицам 1 и 2
_ известная
из курса физики формула нарастания тока в цепи, состоящей из постоянной э.д.с.,
активного сопротивления и индуктивности в функции от времени.
Масса любого живого
организма образуется только путем удвоения начальной массы. Поэтому можно
записать:
, где n _ число удвоений начальной
массы Mo,
Mt _ масса
в момент времени t.
Отсюда
Другой вид формулы для
величины n получен мною на основе анализа взятых из литературы
экспериментальных данных.
.
Вывод формулы содержится в
моей статье «Закономерности роста биологических объектов», напечатанной в
электронном журнале «Математическая морфология» за 2004 г. [http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM].
Преобразовывая эту формулу,
получим
= 
.
Для формул I = f ( t ) и n = f ( t ) построены
графики и взяты производные этих функций.
Сравнивая содержимое левого
и правого столбцов приведенной таблицы, мы видим, что несмотря на то, что
аналитические выражения этих двух зависимостей разные, конструктивно они
построены по одному и тому же принципу, а именно, значение величины в любой
момент времени t равно предельному значению
этой величины (
для тока и 
для живого организма), умноженному на ту долю, которую
составляет значение этой величины в момент времени t от ее предельного значения
(выражение в скобках ) . Время установления тока в цепи определяется
величиной 
, которую называют постоянной времени цепи. По аналогии,
возраст, по достижении которого живой организм достигает своего предельного
размера определяется отношением 
. Чем эта величина больше, тем медленнее будет идти этот
процесс.
Из приведенной таблицы мы
видим, что два рассматриваемые нами процесса
(нарастание тока в контуре с индуктивностью и рост живых организмов)
несмотря на их разную природу и масштабы времени, в математическом плане
происходят одинаково. Об этом говорят сходство их графиков и одинаковое
поведение производных функций, выражающих эти процессы.
Основываясь на этой
аналогии, мы можем позаимствовать некоторые представления из области
электричества и использовать их для изучения роста живых организмов.
Можно провести следующую
аналогию (таблица 3).
Таблица 3.
|
Электрическая
цепь с индуктивностью
(рис . 1) |
Рост живого организма
|
|
Ток I |
Число
удвоений начальной массы n |
|
Установившееся значение
тока
|
Предельное
число удвоений начальной
массы |
Активное сопротивление
электрической цепи R |
Коэффициент замедления роста k |
|
Индуктивность
электрической цепи L |
Начальный
период удвоения массы |
Причина активного сопротивления прохождению электрического тока, как известно, состоит в том, что свободные электроны при своем движении испытывают многочисленные столкновения с частицами вещества.
Причина
замедления роста живых организмов состоит в том, что каждая клетка организма
оказывает тормозящее действие на рост клеток, находящихся в непосредственной
близости от нее.
Установление
тока в цепи это распространение электрического поля. В отсутствии индуктивности оно происходит практически
мгновенно. Наличие индуктивности замедляет
этот процесс.
Согласно
теории А. Г. Гурвича с каждой живой клеткой связано особое состояние материи,
названное им биологическим полем. Если принять эту теорию, то рост живого
организма это распространение биологического поля, оно возрастает вместе с
массой. Наличие величины 
замедляет этот процесс. Это видно из следующего выражения.
Число
удвоений начальной массы
.
С возрастанием t величина n стремится к своему
предельному значению 
. Но как долго будет продолжаться этот процесс, зависит от
величины 
. Чем она меньше, тем быстрее 
станет пренебрежимо
малой величиной и число удвоений достигнет своего предельного значения 
, и наоборот.
Следовательно, величина 
в процессе роста
играет ту же роль, что и индуктивность L в электрической цепи.
Организм, у которого 
больше, более продолжительное время находится в состоянии роста, а
значит, и его максимальная продолжительность жизни больше, поскольку она, как
правило, коррелирует с периодом взросления организма. Другими словами,
организм, который долго растет, долго и живет.
Позволим теперь себе
спекуляцию на эту тему. Если бы мы знали, где в живой клетке или в живом
организме находится образование, соответствующее величине ao и имели бы возможность его регулировать, то тем самым
мы могли бы изменять и продолжительность жизни организма. Если наша цель _
иметь организм, который в течение кратчайшего времени достигал бы своего предельного
размера, то ao должно быть минимальным. А
если мы желаем иметь долгоживущий организм, то ao должно быть максимальным.
В этой связи заслуживает
упоминания работа инженера-электрика Б. Б. Кажинского «Биологическая
радиосвязь», в которой он высказал мысль о том, что в изолированных препаратах
нервной системы животных имеются элементы, которые по своему строению и
назначению аналогичны известным электрическим устройствам.
Но в этом вопросе никакая
математика, никакое моделирование нам не помогут. Необходимы продуманные
эксперименты в сочетании с правильным теоретическим подходом.
Итак, подводя итог всему
сказанному, мы приходим к выводу о том, что рост живого организма является
инерционным процессом. Уточним, что под
ростом мы понимаем увеличение массы живого организма. Рост заканчивается после
достижения организмом предельного размера. Что же касается качественных
изменений в организме, то они объединяются термином - развитие.
Т.к. биологические процессы
являются очень медленными по сравнению с физическими, то ясно, что процесс
роста характеризуется большой инерцией.
Как мы уже отмечали, в
случае инерционных процессов любое изменение состояния объекта или системы
тормозится и тем сильнее, чем больше его инерция. Таким процессом и является
рост живых организмов. Нарастающая масса организма тормозит его дальнейший
рост, причем это торможение происходит путем чередования подъемов и спадов его
интенсивности. В этом можно убедиться проанализировав экспериментальные данные
по росту любого организма.
С другой стороны, на любое
уменьшение своей массы живой организм отвечает ускорением биосинтеза. Это
подтверждается процессами регенерации. У одноклеточных организмов удаление
части массы приводит к ее полному восстановлению. У многоклеточных организмов
это восстановление происходит только в некоторой области, окружающей раневую поверхность.
Инерция проявляется не
только на уровне роста отдельных организмов. Процессы роста (увеличение
численности) популяций также являются инерционными. Это выражается в том, что любая
популяция противодействует изменению своей численности. Подтверждением этого
является увеличение рождений в популяциях животных при их истреблении и
снижение рождаемости при увеличении их плотности.
Человеческая популяция не
является в этом отношении исключением. Об этом свидетельствуют демографические
взрывы __ резкое увеличение рождений после событий, сопровождавшихся
гибелью большого количества людей (в результате войн, революций,
контрреволюций, стихийных бедствий). По-видимому, такие процессы регулируются
на уровне еще не изученных наукой полей.
Литература
1.
Шмальгаузен
И. И. Рост и дифференцировка, т . 1. __ Киев: Наукова думка, 1984. __ 176 с.
2.
Шмальгаузен И. И.
Рост и дифференцировка, т . 2. __ Киев: Наукова думка, 1984. __ 168
с.
Growth
of living organisms - inertial process
Sedova G. P.
It is shown, that the
quantitative growth of living organisms is the same inertial process what are
mechanical locomotion of a skew field, and a current build-up in a chain with
inductance. On the basis of the indicated analogy the electrical analogue of
growth of living organisms is offered.
Keywords: inertial processes, an electrical analogue of growth
of living organisms.
Орел
Поступила в редакцию
12.12.2009.