Математическая морфология.

Электронный математический и медико-биологический журнал. - Т. 9. -

Вып. 2. - 2010. - URL:

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-26-html/TITL-26.htm

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-26-html/cont.htm

УДК 512

Строение и свойства группы дробно-линейных преобразований единичного отрезка

Ó 2010 г. Мануилов Н.Ф.

(manuilov-4.doc)

В данной заметке исследуются строение группы дробно-линейных преобразований единичного отрезка и некоторые её свойства. Полученные результаты могут быть полезными при изучении многозначных и нечетких логик, а также при моделировании предметных областей с привлечением названных логических средств.

Ключевые слова: группа, дробно-линейные преобразования единичного отрезка, изоморфизм групп, монотонные преобразования.

Дробно-линейной функцией называется (см., например, [3]) функция вида

.

Дробно-линейным преобразованием отрезка будем называть всякое его отображение на себя, осуществляемое дробно-линейной функцией.

В работе исследуются строение группы дробно-линейных преобразований единичного отрезка и некоторые её свойства.

Положим

, ;

(1)

, .

Лемма 1. При функции вида (1) являются дробно-линейными преобразованиями отрезка , притом преобразования типа являются антитонными с единственной неподвижной точкой , а преобразования типа являются изотонными с неподвижными точками 0, 1 и единственной точкой , удовлетворяющей уравнению:

.

Доказательство опускаем

Теорема 2. Группа G дробно-линейных преобразований единичного отрезка исчерпывается преобразованиями вида (1) с групповой операцией, определяемой равенствами:

; ;

(2)

; .

Доказательство опускаем.

На множестве пар

зададим операцию * соотношениями:

(3)

Лемма 3. Алгебра является группой с единичным элементом е=(0, 1).

Доказательство опускаем.

Теорема 4. Группы , изоморфны.

Доказательство опускаем.

Известно (см, [1]; [2]), что медиана трех элементов дистрибутивной решетки определяется по формуле:

.

Если , то медиана является функцией трёх переменных не всюду дифференцируемой; её значения инвариантны относительно группы монотонных преобразований единичного отрезка.

Дифференцируемым аналогом медианы может служить следующая функция

(4) ,

- допустимы те тройки чисел, при которых знаменатель этой дроби не обращается в нуль.

Теорема 5. При любых преобразованиях вида (1) выполняются равенства

;

(5)

.

Доказательство опускаем.

Следствие 6. При любых преобразованиях вида (1) справедливы равенства

;

(6) ;

;

.

Доказательство опускаем.

Литература

[1]. Г. Биркгоф. Теория решеток. М.: «Наука», 1984 – 566 с.

[2]. Г. Биркгоф, Т.К. Барти. Современная прикладная алгебра. СПб.: «Лань», 2005 – 400 с.

[3]. Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. ч.ч. I, II - М.: «Наука», 1976 – 577 с.

Structure and properties of group of linear-fractional transformations of an individual segment

Manuilov N. F.

In the given note the structure of group of linear-fractional transformations of an individual segment and its some properties are investigated. The received results can be useful at studying multiple-valued and in distinct logics, and also at simulation of subject domains with attraction of the named logic means.

Keywords: group, linear-fractional transformations of a unit segment, isomorphism of groups, monotone transformations.

Смоленский гуманитарный университет

Поступила в редакцию 15.04.2010.