Математическая морфология.
Электронный математический и
медико-биологический журнал. - Т. 9. -
Вып. 3. - 2010. - URL:
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-27-html/TITL-27.htm
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-27-html/cont.htm
УДК
004.056
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ВЕКТОРНОМУ ПОЛЮ
ГРАДИЕНТОВ
Ó
2010 г. Панкратова Е. А., Семенова О. В., Федотов В. Ю.
В статье содержится обзор алгоритма использования
уравнения Пуассона для восстановления изображения по векторному полю градиентов,
рассматриваются возникающие при этом проблемы и способы их решения.
Ключевые слова: Восстановление изображения,
уравнение Пуассона, векторное поле градиентов.
Для
большого спектра задач компьютерной графики предложены методы, содержащие в
качестве одного из этапов построение и решение уравнения Пуассона [1,2]. К
таким задачам относятся: сжатие HDR-изображений,
матирование изображений, редактирование изображений. Уравнение Пуассона в целом
ряде из них используется для восстановления изображения по градиентному полю.
Алгоритм редактирует не сами точки изображения, а связи между ними, из которых
с помощью уравнения Пуассона восстанавливается изображение с наиболее близкими
к данному векторному полю градиентами. Рассмотрим этот алгоритм подробно.
Пусть
изображение 
- замкнутое
подмножество 
с границей ∂
, заданной внутри 
неизвестной скалярной
функцией 
и заданным на 
векторным полем
градиентов V. Необходимо
восстановить функцию 
, векторное поле градиентов которой равно V.
Проблема
заключается в том, что V необязательно
интегрируема. То есть, может не существовать такой функции 
, что 
= V. Это следует из того, что для 
должно выполняться условие 
. А значит для интегрируемости V необходимо выполнение условия 
, что необязательно для произвольной V. Тогда можно найти такую функцию 
, градиент которой
наиболее близок к V.
Для этого надо минимизировать интеграл:
, где 
.
Функция
, минимизирующая
полученный интеграл, должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа:
.
При
замене в этом выражении F получаем
формулу:
.
В
итоге решение сводится к известному уравнению 
.
Для доопределения задачи следует добавить
краевые условия трех видов:
§
Дирихле, когда
ограничения накладываются на функцию 
на границе (
/
=
/
);
§
Неймана, когда
ограничения накладываются на производную 
(
/
=
/
);
§
смешанные.
Здесь 
- граница рассматриваемой области, 
- некоторая известная функция. В случае краевых условий
Неймана решение определено с точностью до константы. Более того, для
существования решения при краевых условиях Неймана интеграл функции 
по контуру границы
должен быть равен нулю.
Следует отметить, что удобство уравнения
Пуассона заключается в существовании достаточно хороших алгоритмов его решения
в дискретном случае. Пусть теперь 
- конечное множество
точек на дискретной плоскости, 
- множество соседей
пикселя при 4-связности. Уравнение Пуассона в дискретном случае преобразуется в
систему линейных уравнений, где число переменных равно числу пикселей в 
.
В
случае краевых условий Дирихле это выглядит так:
для
всех 
.
Здесь
- проекция соответствующего вектора из V на ориентированное ребро [p,q] : 
.
Получившаяся система уравнений имеет
единственное решение. Несмотря на большое количество неизвестных, ее можно
эффективно решать, так как подавляющее большинство коэффициентов равны нулю, то
есть задача сводится к решению разреженной системы линейных уравнений.
Таким образом, можно восстановить
одноканальное изображение по векторному полю градиентов. В случае нескольких
каналов каждый обрабатывается отдельно.
Литература
1.
Кононов В., Конушин
В. Применение уравнения Пуассона в
задачах обработки изображений. - М.:
Журнал “Компьютерная графика и мультимедиа”, выпуск №7(1), 2009.
2.
Захаров Е.В., Дмитриева
И.В., Орлик С.И. Методическое пособие по курсу “Уравнения математической
физики” - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2003
IMAGE
RESTORATION ON THE VECTOR FIELD OF GRADIENTS
Pankratova
H. A., Semenova O. V., Fedotov V. U.
The article
contains a review of the algorithm of using the Poisson equation for image
restoration on the vector field of gradients, considers arising problems and
ways of their solution.
Key words: image restoration, the Poisson equation, a
vector field of gradients.
Филиал ГОУ ВПО «МЭИ (ТУ)» в г. Смоленске
Поступила в редакцию 18.06.2010.