Математическая морфология.
Электронный математический и
медико-биологический журнал. - Т. 11. -
Вып. 1. - 2012. - URL:
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-33-html/TITL-33.htm
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-33-html/cont.htm
Что
стоит за великой теоремой Пуанкаре-Перельмана?
Ó 2012 г. Быстров М. В.
(bistrov-2.doc)
Духи имеют четыре измерения
Генри Мор (1614-1687), кембриджский неоплатоник
Сенсационное доказательство
одной из гипотез выдающегося французского математика, совершённое сто лет
спустя (2004) его не менее талантливым коллегой по цеху из Петербурга,
всколыхнуло весь мир. Оно не обсуждается сегодня разве что в детских садах и
банях – хотя, вероятно, известно и там...
Попробуем посмотреть на
произошедшее в целом - рассматривая двойное
событие - по выдвижению нетривиального предположения и его обоснованию. Вообще
говоря, налицо характерный бинарый процесс, могущий иметь место – с тем или
иным успехом - у нас «под шляпой» и локализованный, как принято считать, в
правой и левой половинах мозга.
Следовательно, то, что
обычно вершится в одной голове, случилось в двух - будучи разнесено ещё и во времени.
Причём, решающей оказалась специализация
умов, каждый из которых явно придерживался одной из двух фундаментальных стратегий мышления. В чём же их типология?
Если коротко, то
межполушарная функциональная асимметрия мозга сводится к взаимодополняющим способам
обработки информации. «Болтливое» левое полушарие отвечает за речь, письмо и
последовательно-логическую обработку, а «молчащее» правое – за
«параллельно-образную» и эмоциональную. Важно, что правая половина коры,
связанная с нашим сердцем, ответственна за целостную
картину, творческое озарение и вдохновение, а также ... за интуицию.
Считается, что правый «двойняшка»
администрирует над всем мозгом, осуществляя общее руководство...
Интуицию берут за основу такие учения как философский
интуитивизм и математический
интуиционизм - видящие в ней, соответственно, единственно
достоверное средство познания и основной критерий проверки правильности
доказательств. А не могли они «пересечься» на великой теореме?...
И как раз Анри Пуанкаре
(1854-1912) – математик-универсал,
схожий по широте мысли с Д. Гильбертом (1862-1943) и соревновавшийся с ним за
лидерство – полагал, что именно интуиция
играет главную роль в математическом творчестве. Применяя её успешно на
практике, он и сделал свои беспрецедентные вклады почти во все отрасли
математики, включая и топологию – отцом каковой обычно и считается...
Поклонникам интуиции в
математике противостоял логицизм, заложенный ещё Г. Лейбницем и завершившийся
капитальным трёхтомным трудом «Основания математики» (1910-13) Б. Рассела и А.
Уайтхеда.
...Ещё Декарт указывал на
имманентные нашему интеллекту два действия
- «посредством которых мы можем
придти к познанию вещей» - интуицию и
дедукцию. Но только первой
постигаются принципы, из коих уже при помощи второй и «путём последовательного и нигде не
прерывающегося движения мысли...» познаются остальные вещи. «Интуиция – понятие
ясного и внимательного ума, ... порождаемое естественным светом разума и
благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция». Паскаль также
глубоко верил в мощь интуиции и в своих математических работах опирался в
основном на неё.
На деле, однако, оба модуса
мышления редко проявляются в гармонии – что и подтверждает очевидная для всех дихотомия культуры. Её-то метастазы и
проникли в математику, породив, говоря
упрощённо, армию «геометров» (Б. Риман) и «алгебраистов» (К. Вейерштрасс). Одно
из немногих исключений представлял, вероятно,
К. Ф. Гаусс (1777-1855), который – по словам Пуанкаре – «одновременно
был гениальным геометром и очень искусным и уверенным вычислителем»...
Но «король математиков» был
«последним из могикан», блестяще
сочетавшим оба способа мышления. С тех
пор его наука претерпела немало потрясений, о чём - как «утрате определенности»
- и писал Морис Клайн в своей известной
книге (1980). А ещё раньше (1931) озабоченность высказал Г. Вейль, выделивший
два направления в математике – топологию и абстрактную алгебру, причём якобы
первая со временем полностью переменила своё лицо, обратившись в
преимущественно вторую, и её аппаратом
стали формально-логические конструкции, в которых для геометрии уже места не
оставалось. Эта трансформация будто «выбила из седла» даже ряд крупных
топологов с геометрическим складом мышления... Тонкое наблюдение! Что бы сейчас
о данной тенденции сказал «геометр»
Пуанкаре, подразделявший мыслителей на «логиков» (Ш. Эрмит) и «синтетиков» (Ф.
Клейн) – куда относил и себя?... «Анамнез заболевания» проясняется теперь со
всей очевидностью: математика, следуя культуре, упорно тяготеет к
«левополушарному» стилю мышления – пренебрегая откровениям «правдоруба» с
другой стороны. В итоге над открытиями превалируют
изобретения, и продуцируется масса
искусственных и надуманных моделей, лишённых онтологических оснований... А всё
оттого, что логические усилия ума -
часто противоположные интуиции! – провоцируют зуд правой руки, начинающей
неудержимо марать бумагу... Показательна в этом отношении история с
формализацией математики, затеянная «левополушарным» Гильбертом и сокрушённая
сенсационными теоремами К. Гёделя (1931). Не вдаваясь в детали, обсуждённые в
предыдущих работах, отметим только, что последующие усилия в математической
логике (А. Тарский (1936), Дж. Парис и Л. Харрингтон (1979) привели к
существенному, но, увы, недооценённому многими выводу - о связи истины с актуальной бесконечностью.
А отсюда делаем не менее важное заключение – что поскольку данная «абстракция
необозримости» неподвластна нам, то мы можем только обнаружить её – с
гносеологической точки зрения, или даже как-то «подключиться» к ней – с онтологической.
Но не сливаются ли оба аспекта в подлинном и глубоком познании – когда истина
обретает ещё и своё бытийное измерение?...... «Гораздо важнее видеть целостный смысл...» - провозгласил некогда Д. Бом, соратник А.
Эйнштейна, разуверившийся, наверное, в узких физических изысканиях и
занимавшийся в последние годы жизни поиском имплицитного порядка в мире. А таковой и
выражается изящным и простым инвариантом красоты
и гармонии в лице знаменитой «золотой
пропорции». Будучи развёрнутой до бесконечности
(!) в обе стороны, она описывает трансцендентную
и фрактально организованную целостность,
охватывающую все уровни бытия. Решающий шаг в понимании!... Но здесь-то и
претыкается, в частности, физика – всячески избавляясь от «расходимостей». Да и
философия долго мучилась с бесконечностью, не зная, куда её пристроить. Но если
она не «втискивается» в наш бренный мир, то наверняка с комфортом
располагается «этажом выше» - в
духовном... Увы, по части признания
«золотая пропорция» разделила судьбу Золушки – пока не открылась её
«целостная» красота. И сегодня ею «в простоте сердца» восхищается любой
эстетически развитый «человек с улицы» – чего не скажешь о сдержанных на
чувства представителях точных наук. Но не пора ли «разуть глаза» и научному
истеблишменту!... Ибо свершилась настоящая «перезагрузка» сознания. В новой
парадигме мы переходим от расплывчатых утверждений о разумном устройстве мира с
антропным принципом и удивительной настройкой
мировых констант и т.д. к понятию целостности.
Приходится отныне перестроить своё
мышление, допустив, что мир не эволюционировал, а изначально был настроен на целостность. Последняя и
эксплицируется через окружающую красоту
всего сущего «в золоте». Так видимая гармония ассоциируется со скрытой целесообразностью, и осознаётся смысл всего мироздания... Если вспомнить
о незыблемых законах сохранения, то
напрашивается теперь добавить к ним ещё один и, наверное, самый весомый – о сохранении целостности. В самом деле,
даже смысл любой вещи, пересекающей
торговый прилавок, заключается в её целостности – что уж говорить о мире...
Следовательно, целостность универсума
должна поддерживаться и сохраняться
неким постоянно действующим активным началом
и настроем – каковой и называется в
теологии Духом... Разумеется, эта смыслопорождающая и пронизывающая всё и
вся инстанция господствует и в головах - настраивая
и упорядочивая мысли. И адекватность познания теперь означает следование
Духу – когда мы схватываем своим правым полушарием целое и разворачиваем его в значках и словах для других заинтересованных
лиц – через левое... В противном случае – при автономном кропании формул на
бумаге наша «левая мысль» без тормозов
способна зайти слишком далеко... Такой духовный подход вполне согласуется с откровениями Пуанкаре,
изложенными в докладе Психологическому обществу в Париже (1908) и в его книге
«О науке» (М.1989). «При расположении силлогизмов в известном порядке, последний оказывается гораздо
более важным, чем они сами, а я обладаю чувством, или интуицией, этого порядка»(!). Высшая ипостась последнего и служит
центральным пунктом нашего изложения... Подобное прямое усмотрение истины, или
созерцание – по Платону – идей, и позволило учёному «в один присест и без
всякого усилия написать свой окончательный мемуар». Не исключено, что имелся в
виду как раз Analysis Situs («Анализ положения» - по
дефиниции Лейбница), где и была выдвинута (1904) замечательная гипотеза (Избр.
труды. т.2. М.1972). Пуанкаре верно подчёркивает ведущую роль бессознательного в уловлении сути.
«Сознательные усилия пускают в ход машину бессознательного, а потом надо
задействовать результаты этого вдохновения...
и провести доказательство». Именно так – двигаясь как бы «справа налево»!...
Всё становится на свои места – если напомнить о сопоставлении К. Г. Юнгом
бессознательного с метафизической субстанцией и чуть ли не с... Божественным.
Но мы пойдём дальше и скажем прямо – с Духом целостности, наводящим единый порядок во всех правильно
устроенных и неповреждённых умах. Только отсюда вытекает естественная общность
взглядов у людей, да и обычное
взаимопонимание... К тому же клонит и французский гений. «Подсознательное Я ...
обладает чувством изящного... и лучше умеет отгадывать,
являясь более высшим, чем
сознательное». Эстетическое чувство у
математиков без труда схватывает целостность,
а «гармония даёт нам зрелище правильно расположенного целого». Прекрасно сказано! В унисон вещает и Эйнштейн: «Мы с
готовностью воспринимаем лишь те физические теории, которые обладают
изяществом». Осталось выяснить причастность к затронутой и ускользающей целостности самой интригующей гипотезы
Пуанкаре: «всякое односвязное компактное
трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». Начнём
издалека - с высказанной ранее версии
относительно «золотой» упорядоченности
числового континуума. Идея взята не с потолка, ибо и теория множеств, базируясь на «аксиомах
порядка», искала в чувственном представлении совокупности элементов образ
целостности и понимание её как
«многого в едином». Тем самым перекидывался некий мост между бесконечно малым в
анализе и трансфинитно большим в синтезе... Обратимся к школьной и двухчастной «золотой пропорции» 
....(1),
где наряду с «каноническим» целым =1 «используем» последовательно всё счётное
множество натуральных и рациональных чисел. Если развернуть выражение (1)
беспредельно в обе стороны, то возникает нетривиальный вопрос: покроет ли тогда
образующееся бесконечное семейство чисел полностью арифметическую ось? Учтём
ещё, что каждому частному «целому» на месте единицы будет отвечать под «х»
бесконечное множество производных иррациональных чисел... Вопрос принципиален и
как бы воскрешает «многострадальную» континуум-гипотезу Г. Кантора (1878).
Совместим ли континуум действительных
чисел с нашим заявленным порядком - или «золотое множество» имеет несколько меньшую мощность? Хотя
прямое доказательство и затруднено, на выручку приходит уместное положение:
«множество данной мощности может быть упорядочено, вообще говоря, многими разными способами» (А. Н.
Колмогоров... Элементы теории функций...М..1976, стр.33). Чем, спрашивается
тогда, хуже предложенный вариант – имеющий под собой глубокие онтологические
основания?... К тому же «золотой порядок» фрактально
организован – как и вся природа (Б. Мандельброт). Более того, поскольку
числовая прямая образует полное метрическое пространство, а «один и тот
же запас точек может быть по-разному
метризован» (там же, с.50), то почему бы в таком случае не метризовать его в
духе «золотой» целостности?...
Любопытны и другие аллюзии. Сквозная «игра» в развёрнутой пропорции (1) с двумя
составляющими, пробегающими
значения большей и меньшей частей, а также
промежуточного целого, находит свой коррелят и в теории множеств.
Упорядоченность их базируется тоже на отношении
порядка между парами элементов.
Попарно различные точки фигурируют и при рассмотрении сходимости и предельной
точки множества... Метрическое пространство называется полным и компактным, если
имеет сходящуюся (фундаментальную) последовательность (Коши). Но и наши
«золотые» последовательности, порождённые указанным выше способом, сходятся к
нулю - предельной точке (накопления, или конденсации). Нельзя не коснуться
и связности множества – когда любые
две его точки могут быть соединены ломаной или дугой, лежащей целиком в нём. В
«равномощном» двумерном случае эту роль и выполняет логарифмическая спираль,
сопутствующая «золотой пропорции». Эта уникальная трансцендентная кривая, открытая Декартом и сводившая с ума своими
свойствами Я. Бернулли, «обрамляет» бесконечный ряд «золотых» чисел и по сути
снимает пресловутый «АГ-конфликт» в математике – о плохой соединимости
арифметики с геометрией (В. Н. Тростников. Конструктивные процессы в
математике. М.1975). Числовой ряд и логспираль органически соединяются – в
бесконечности! - для выражения подобия...
Кстати, и Кантор видел
сокровенную сверхзадачу своего менгенлере
в синтезе арифметики и геометрии. А его близкий друг Ф. Клейн констатировал,
что через всю историю проходит различие
между дискретным первой и непрерывным второй, причём в новейшее
время на первый план выдвигаются именно дискретные величины «как наиболее
лёгкие для понимания». Учение о множествах
и было призвано урегулировать
«АГ-конфликт» и показать, что целые числа и геометрические образы «вырастают»
из понятия множества, выступающего более первичной категорией, доступной самым
глубинам нашей интуиции.
Абстрактное множество заняло
центральное положение в иерархии рассматриваемых математиками сущностей –
статус объекта, который «существует сам по себе». Кантор классифицировал
множества, отвлекаясь от конкретной природы составляющих элементов и учитывая
лишь их «количество» и порядок. А так
как дело касалось в основном бесконечных совокупностей, проблема их «величины»
оказалась нетривиальной.
Всё замкнулось вокруг
«скользкой» абстракции актуальной бесконечности – застарелой и философской
проблемы, всегда доставлявшей много головной боли. А некоторые даже видели в
теории бесконечных множеств опасную форму математического помешательства и
предостерегали от превращения «царицы наук» в сумасшедший дом. Но в реальное
заведение попал Кантор, претерпев под занавес нервный срыв и будучи расстроен,
в частности, всплывшими в его теории парадоксами типа «множества всех
множеств»...
На наш взгляд, здесь кроется
некий «гносеологический барьер», разделяющий интуицию и логику.
Попросту говоря, озарения, блеснувшие по ведомству первой, не всегда выразимы
во второй. О «непостижимости» подобного рода прекрасно писал наш религиозный
философ и психолог С. Франк, продолжавший линию апофатики Н. Кузанского и Вл.
Соловьёва. И в его «онтологической гносеологии», придерживающейся духа
интуитивизма, рациональное знание
восполняется в религиозном «знании-жизни»
- как благодатной форме цельного бытия
человека. А что может быть существеннее столь гармоничного сочетания? Ибо в
конечном счёте «важнее быть, чем знать» (Максим Исповедник)... Словом,
открывается новый – расширенный и метафизический взгляд на вещи. Он позволяет
скорректировать чисто логический
подход – могущий уйти в сторону и разойтись с верной интуицией на каком-то отдалённом
этапе. И не случайно, что как раз в бесконечных множествах Кантор искал
сверхчувственное начало, апеллируя к бл. Августину и Н. Кузанскому... «Учение о
множествах – отмечал глава отечественной топологической школы академик П. С.
Александров - лежит вне математики, а
быть может, и вне науки вообще...».
Неожиданное признание! А то, что дело обстоит именно так, и будет
показано ниже... ...Надо лишь привлечь «эстетический ресурс», скрывающий за
собой целостность. Прислушаемся к
вещим словам Гёте: «Прекрасное есть манифестация сокровенных законов природы,
без проявления которого они так и остались бы сокрытыми...». И самый, очевидно,
сокровенный из них - выдвинутый выше закон сохранения
целостности... «отливающий золотом»... Под новым углом надо посмотреть ныне
и на закон сохранения энергии, который М. Планк считал следствием принципа
наименьшего действия (Мопертюи-Эйлера-Лагранджа-Гамильтона). Мир видится
наполненным в высшей степени
организованной духовной энергией – каковая и была когда-то экономно и эффективно
преобразована по формуле Эйнштейна в
первые частицы материи. К этой энергии приблизилась и наука, именуя её
бездушным физическим вакуумом, торсионными полями, «эфироворотами» некой мутной
среды и т.д., но упуская главное – её
целесообразную упорядоченность. Фатальное упущение!...
Вернёмся, однако, к
исходному пункту - стандартной пропорции (1) и разрешим её численно с помощью итерации. Последняя, начатая с левого отношения, быстро сходится к «аттрактору» или
«притягивающей неподвижной точке» х = 0,618..., и расходится в противоположном
случае. Вся процедура – достаточно впечатляющая - наглядно иллюстрируется графически, а сам почти шокирующий результат
требует отдельного философского осмысления.
Но поскольку оно давалось в
другом месте (БМВ. Прорыв к духовному через основания математики.2009),
ограничимся лишь констатацией главного - что итерация тут вполне имитирует рефлексию и направленность сознания, т.е. также неотвратимо ведёт к духовному началу...
С другой стороны,
проделанная операция есть не что иное, как сжимающее
отображение (Банаха) метрического пространства в себя. Подобный метод последовательных приближений часто
применяется к доказательству теорем
существования и единственности
решений для уравнений различных типов.
А мы посмотрим на дело с
онтологической точки зрения – как на свидетельство существования целостности в качестве основного, а по сути - единственного условия бытия... К тому же – хотелось бы думать
- должны вести и фундаментальные
теоремы Э. Нётер (1918), касающиеся общей связки симметрия-сохранение...
Какова же роль в обрисованной картине собственно «геометрии положения»?
Для начала напомним о пятерной симметрии форм, подчиняющихся
«золотой» организации. Если в природной морфологии она ещё бывает завуалирована,
то в простой геометрии прямо-таки бросается в глаза - как скажем, в
десятиугольнике и «пентаграмме». Но – важный момент! – ось симметрии пятого порядка принципиально невозможна
в косных кристаллах. Она сопутствует живому
и, следовательно, присуща более динамической
симметрии, чьим объектом выступает
уже процесс... Под её углом мы и будем рассуждать далее...
Из объёмных тел нам
интересен прежде всего додекаэдр –
выделенный ещё Платоном как символ пятого
элемента мироустройства – нематериального эфира! Группа симметрии
додекаэдра, олицетворявшего и гармонию мироздания, – икосаэдрическая (I
, или «супергруппа» m
m) -
почему он и «взаимен», или двойствен икосаэдру, а оба многогранника могут быть
«вставлены» друг в друга. Их общая симметрия проще обозначается семейством элементов: 6L
10L
15L
15PC.
Об икосаэдрической группе
упоминает и Пуанкаре в конце Пятого дополнения к “Analysis situs”
(стр.734. Изб. тр.т.2.1972), а открытые им пространства (1902) часто называют
додекаэдральными. Также именуют и пространства Зейферта-Вебера (1932),
получающиеся при несколько ином математическом отождествлении («склеивании»)
противоположных граней додекаэдра. Что важно -
оба эквивалентны трёхмерному многообразию и дают модель Вселенной
конечного объёма, но без границы и края...
Была ли случайной
аллегоризация неуловимой «квинтэссенции» мира именно пятым правильным
Платоновым телом с двенадцатью пятиугольными гранями? Или она была
призвана послужить законной прелюдией к дальнейшему уяснению геометродинамики
духовного первоначала?..
Воспользуемся поучительной
параллелью с изящным замощением плоскости «плитками» Р. Пенроуза (1974),
запатентовавшим даже несколько образцов комнатных обоев. Его покрытие
составляется из узких и широких ромбов с типичными «золотыми» углами, соответственно,
36 и 144º, 72 и 108º, и полностью покрывает «пол» без пропусков и
перекрытий. Столь симпатичный узор – заметим – родился в голове крупнейшего
физика и математика, а догадаться о тупом покрытии из равносторонних
треугольников по силам и любому пятикласснику.
Следовательно, красивое и
целесообразное, или нечто цельное,
рождается - как и в природе! - только мощным разумом... Кстати, в «мозаике»
Пенроуза – если присмотреться – узнаётся и пентаграмма («пифагорейский герб»).
Как увидим ниже, она победоносно просвечивает и в обобщении плоского мощения на
три измерения...
...Подлинный гимн икосаэдру воспел Ф. Клейн (1849-1925),
полагая его исключительным объектом математики, центрирующим пять её ветвей,
включая теорию Галуа и группы Ли. Спустя ровно сто лет прогноз автора
знаменитой Эрлангенской программы начал сбываться - через открытие израильским
физиком Д. Шехтманом квазикристаллов с икосаэдрической симметрией (1982 – сплав
Al + Mn).
После некоторого смятения
умов по поводу выявления запрещённой пятерной оси в новом материале –
«икосаэдрической катастрофы» –
появились релевантные специфические объяснения, на которых не будем останавливаться, дабы не уходить в сторону. Отметим лишь, что
идея Клейна, по сути, преломилась сегодня в «математике гармонии» (А. Стахов и
Кº), претендующей на объединение «царицы наук» под знаменем «золотого
сечения»...
В русле настоящего контекста
заманчиво обратиться к принципу Кюри – о наложении симметрии среды на
формируемое в ней тело. Особым ноу-хау
при синтезе квазикристаллов безусловно является быстрое охлаждение -
позволяющее нам выдвинуть «нефизичную» версию: о запечатлении в них
всеобъемлющей и незримой организации. За короткое время перехода в твёрдую фазу
материал ускользает от «поимки решёткой» (Н. В. Белов) - как это обычно
происходит с растущим изнутри кристаллом
– а пронизывается и как бы захватывается извне...
динамической и «золотой»
симметрией...
Полный аналог сказанного мы
находим во второй фразе Библии: «...и Дух Божий носился над водою». В
привычной, но уникальной по своим свойствам жидкости - «соке жизни» (Леонардо)
– тоже недавно выявлена «золотая» структура! (В. Белянин и др.). Но вот
замечательный факт: именно икосаэдр и символизировал в древнегреческой
космологии воду! Следовательно, на заре творения происходило одухотворение воды – и не столько
фигуральное, сколько буквальное... Вездесущая вода входит и в нашу кровь (80%)... а «душа всякого тела есть кровь
его»... Словом, через новую метафизику разрешается целый букет извечных богословско-психологических
проблем, на которых здесь не будем задерживаться...
Акцентируем лишь внимание на
несовместимости пятерной оси с трансляционной симметрией, или периодической
решёткой. А вот «золотая» апериодичность
уже видна из ряда Фибоначчи в символах: В...А...АВ...АВА...АВААВ...АВААВАВА...Резюме
таково: в отличие от конечных кристаллографических систем (сингоний), обсуждаемая целостность
находит своё завершение в бесконечном
Духе – оставляющим свободу для творчества. Потому-то все шедевры искусства,
созданные под в-дух-новением, и
отмечены «золотым дизайном». А экзотические квазикристаллы, «ничего не зная о
правилах построения Пенроуза» и балансируя «между локальным и глобальным
порядком», в итоге как раз под последний и подстраиваются - через координацию
им действия образующих межатомных сил...
...Теперь у нас всё
подготовлено для осознания непрерывного
в «золотой» организации. Учтём только «трансразмерность» сверхчувственного
начала – о чём писал и апостол: «чтобы вы... могли постигнуть... чтó
широта и долгота, и глубина и высота». Получается, «мир Духа» во всяком случае
четырёхмерен – как и полагал, согласно эпиграфу, Генри Мор, оказавший сильное
влияние на молодого Ньютона и впервые употребивший сам термин quarta dimension...
И «хотя аналогия часто вводит
в заблуждение, это наименьшее из того, что нас туда заводит...». По крайней
мере – в геометрии, которую Гельмгольц отождествлял с интуицией (!)... Следуя
ей и аналогии, будем восходить по линии симплексов
от плоского мира треугольников и «тетраэдрического трёхмерия» к загадочному
четырёхмерию - где нам придётся как-то слепить фигуру, составленную из пяти тетраэдров и, увы, трудно
изобразимую на бумаге. Но её «ненаглядность» окупается общим видом и приятным
для нас сюрпризом: проекция на
плоскость полученного четырёхмерного «тетраэдра», или «пентаэдроида», снова даёт неистребимую «пентаграмму»! (см. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое
математика? М.2004, с.259 и В.Стрингхем. УМН, в.Х.1944)). Великолепный
подарок!...
«Симплициальное разбиение»
многообразий (триангуляция) – весьма расхожий приём топологии, позволяющий
теоретико-групповым методом решить многие проблемы. Например, такое разбиение
сферы 
S
состоит из 4-х граней
«самовзаимного» тетраэдра. А тогда трёхмерная
гомологическая сфера из гипотезы Пуанкаре, не могущая поместиться в трёхмерное
пространство (В. Успенский. Апология математики. СПб.2009, с.217), будет,
конечно, «разбиваться» нашим замечательным четырёхмерным
«политопом» (Л. Шлефли). Впрочем, имеет место и более сильное утверждение -
будто всё, что находится в четырёхмерном пространстве, гомеоморфно сфере...
Но наша цель – не влезая в
тонкости топологии и отвечая на вопрос заглавия, протянуть «онтологическую
нить» между 3-х- и 4-х-мерием. Обратим
сразу внимание на общность развёртки у обсуждаемых репрезентантов двух миров:
каркас икосаэдра и – в каком-то смысле - «пентаэдроида» составлен из 20-и
граней-треугольников. Не могут ли они друг в друга отображаются?...
С другой стороны, нельзя
забывать и о двойственном икосаэдру родственнике. Чем же предпочтителен додекаэдр, если они оба успешно заполняют наше пространство «а-ля Пенроуз»?
Или спросим: какой из двух платоновских полиэдров «более онтологичен»?...
Остроумной проверкой тому
служат опыты по уминанию массы податливых шариков из пластилина или гороха и
свинцовой дроби – все они дают после
деформации по преимуществу пятиугольные
грани (Карл Левитин. Геометрическая рапсодия. М.1984.с.104). Следовательно,
наше пространство от века «приспособлено» к пятикратной
симметрии.
Исполним ещё одну
геометрическую интермедию. Соединив пять
тетраэдров, вершины которых служат углами додекаэдра, а грани лежат в
плоскостях граней икосаэдра, мы
получим два энантиоморфных варианта; также не обладают зеркальной симметрией и
два архимедова тела – «курносый» додекаэдр и «курносый» куб - встречающихся в
двух модификациях, не допускающих евклидова построения. (У. Болл, Г. Коксетер.
Математические эссе и развлечения. М.1986).
Все эти геометрические
изыски ведут исподволь к хиральности пространства
– на каковую провидчески намекал ещё В. И. Вернадский, говоря о разной
закрутке у процессов и структур в
организмах (сахара и аминокислоты). Эта «право-левая изомерия», отметившаяся в
почти скандальном несохранении чётности
слабых взаимодействий физики, заявляет о себе, разумеется, и в асимметрии двух
отсеков нашей черепной коробки...
«Хиральный фактор биогенеза»
(А. Холманский) доминирует и у полипептидных цепочек белков, и у «самой главной
молекулы» - ДНК, закрученной вправо, причём с «роковым» углом в 36º ! (М.
Д. Франк-Каменецкий). Энантиоморфизм зафиксирован также в архитектонике сетей
кровеносных сосудов (В. Глотов), да и вообще любой организм построен как бы из винтов... Одно из
объяснений было дано раньше – через двоякое
действие формообразующей креативной логспирали (БМВ. От истины двойной к
единой...)
...Уместно, наконец, оживить
и всем известное изречение И. Кеплера о двух «сокровищах математики» - теореме
Пифагора и «золотом сечении». Но если первая, по большому счёту, характеризует
свойства евклидовой плоскости, то второе, очевидно, говорит о пространстве. Обе
данности сходятся в «золотых» прямоугольных 
треугольниках,
чья последовательная пристыковка сразу даёт и знакомую спираль(!)...
А если учесть и динамическое
понимание идей со времён немецкого
идеализма (Шеллинг и Фихте), то необходимо и за обсуждаемой симметрией видеть
незримую активную силу – Дух
высшей органической и «золотой» целостности, упорядочивающий мир в чудесной
гармонии – ибо «порядок и связь вещей совпадает с порядком связью идей» (Б.
Спиноза). Короче, за видимым следствием мы распознаём скрытую мироустрояющую
причину, а говоря философски, сводим наконец-то сущность с явлением...
Любопытно в этом плане
проследить судьбу икосаэдра. Его форму принимают открытые недавно фуллерены, а
также вирусы – ультрамикроскопические
тела, которые репродуцируются только в клетках восприимчивых организмов. Не
располагая собственным генетическим аппаратом, вирус вынужден нахально
паразитировать на чужой жизни. Некоторые исследователи даже относят его к
неживым веществам типа ферментов-автокатализаторов. А выделенная из организма
хозяина эта «живая архитектура» иногда и
кристаллизуется...
Не выступают ли подобные
пограничные свойства столь одиозной частицы заложниками судьбы икосаэдра?
В самом деле, хотя он и был
знáком воды у эллинов, дальше символизации дело не шло - поскольку его
замкнутость и огранка треугольниками, влечёт, очевидно, ... отпадение от оживляющего Духа. А как раз фрактальное,
по современным данным, строение воды «в золоте» и способствует её одухотворению.
Но вот замечательная деталь:
именно пентаграмма разворачивается во
фрактал, причём, с поворотом! – если чередовать «озвездение» пятиугольниов и
окаймление ими очередной звезды. Тем самым воспроизводится спиральное подобие (гомотетия + поворот!) из элегантно встроенных друг в друга фигур – что немедленно
ассоциируется с нашей «судьбоносной» логспиралью! К слову сказать, и Роджер
Пенроуз указал на возможность рассечения фрагментов своей «золотой» мозаики на
более мелкие части и получения её рекурсивным путём. Поразительная общность!
Таков «золотой ключик» к
пониманию, выходящему за рамки собственно математики. В отличие от «недоноска
жизни» - вируса-икосаэдра, следующее Платоново тело, рассмотренное
Евклидом последним и огранённое пятиугольниками,
неспроста связывалось древними с гармонией Вселенной и пятым «вечно бегущим элементом» (Аристотель). Именно додекаэдр наталкивает на мысль о бесконечной развёртке «золотой
пропорции» - чья идея, как мы помним, и
лежит в основе Духа мировой целостности.
А решающему для жизни изоморфизму
Духа со структурами бытия отвечает основополагающий гомеоморфизм в топологии,
наводящей «ажурные мосты» между многообразиями...
Говоря точнее, Дух
осуществляет непрерывное отображение
самой жизни и мысли в материю, а тополог делает «руками» нечто сходное и под наитием той же
инстанции со своими абстрактными
объектами. Неудивительно поэтому, что в блестящих умах, верно следующих
интуиции свыше, и отражается зачастую завуалированная метафизика Духа, руководящего всем и вся, – как и произошло в отношении великой
теоремы ...
Словом, Пуанкаре
конгениально схватил своей безукоризненной интуицией миротворческий акт –
когда, говоря языком онтологии, целостная
организация «трёхмерной сферы» наверху
спроецировалась на «односвязное компактное многообразие» нашего бренного мира внизу. Подкрепляет сказанное и
кристаллография: «Симметрия правильного пятиугольника может существовать лишь в
том случае, если единицы размещены по некоторой
сфере, а не слоями» (М. Сенешаль. Узоры симметрии). Но сферический вирус
оттого и «отщепенец бытия» – что не имеет всё-таки жизнедающей
спирально-фрактальной структуры...
...А поскольку компактность
подразумевает возможность склеивания геометрической фигуры из конечного числа комков (В. Успенский. Апология
математики.СПб.2009, с.216), то в них-то и опознаются первые дискретные
вещественные образования – «гомоморфные» Духу... Говоря иначе, спираль
скручивается в элементарные частицы-микровихри, концентрируя и материализуя
«нетварную» энергию (
)
в
«точке накопления» - откуда и возникает присущий им всем угловой момент, или
спин... Заметим, что и любой гидродинамический вихрь стягивает в себя энергию
из окружающей среды – отличаясь от многих других процессов, идущих, наоборот, с
рассеянием энергии...
Тем самым проливается свет
на вечно интригующую тайну богословского «творения из ничего» и на утверждение
«материя – явление энергетического порядка» (Гр. Нисский).
Более того, находится и
философский коррелят для подчёркнутой взаимности
математического соответствия – в
виде обязательной обоюдной связи
частей в едином и целом. Такое «демократическое» отношение вещей во Вселенной и
есть не что иное как всемирное тяготение,
а в социуме – притяжение сердец в созидающая любви, обозначенной,
согласно Библии, как раз и первым «плодом Духа»... Причём, и там и там
основой служит парное взаимодействие
– точно также как и математический порядок базируется на бинарном отношении,
более первичном, чем многоместные аналоги... Но не будем вдаваться в дальнейшие
коннотации, ибо сейчас это не наша тема...
Итак, интеллектуальный
подвиг в математике обернулся подлинным триумфом её «непостижимой
эффективности» (Е. Вигнер) – и уже не столько в познании физического, сколько духовного
мира! Такой финал, конечно, предвидели
по-своему и Пифагор – «всё есть число», - и Платон – «Бог геометризует»; а в
«золотой» математике оба её крыла без
проблем и естественно соединились - обеспечив прорыв в миропонимании.
Поистине, корни Вселенной -
в непременно красивой математике (П. Дирак). Уточним теперь: её теоремы и
законы физики – это вечные идеи,
обосновывая которые, великие умы в истории лишь повторяли ход вселенской мысли... В самом деле, любая интеллектуальная
находка, входящая в картину мира, могла быть сделана до или после и другим
первооткрывателем; а потому, вообще говоря, и не зависит от последнего.
Как и всякая информация - от своего
материального носителя. Также вполне объективно и целостное
миропредставление, суммирующее
множество светлых мыслей, - коллективный и - допустим, ничего не теряя, - анонимный труд...
Однако нельзя не
преклониться пред мощью двух гениев, погрузившихся в труднейшую задачу и
невольно проложивших путь в «n-мерную сферу Духа» (n
3) - демонстрируя тем самым эффективность «математического
реализма» в истинном познании...А всплывшая по ходу «золотая пропорция»
абсолютно безымянна и вопиёт о том,
что было
задумано не только рациональное, но и радующее глаз мироустройство -почему и нам, для его полного постижения,
надо реанимировать своё дремлющее эстетическое
чувство и от формальной красоты матриц и уравнений двинуться к общезначимому прекрасному. Что и было –
с тем или иным успехом – проделано выше...
Быстров Михаил Виталиевич
окт.- ноябрь 2011