Математическая морфология.

Электронный математический и медико-биологический журнал. - Т. 13. -

Вып. 1. - 2014. - URL:

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-41-html/TITL-41.htm

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-41-html/cont.htm

УДК 784:534.838.3

Когерентные волны в эффекте вибрато

Ó 2014 г. Тукембаев Ч. А.

(tukembaev.doc)

Исследовано вибрато в вокальной технике на частотах инфразвука 4-8 Гц. Эффект вибрато получил научное объяснение на основе теории солитонов и интерференции волн. Доказано, что в эффекте вибрато певец генерирует когерентные волны. Частота вибрато определяется шириной спектра когерентности, а длина вибрато-канала – длиной когерентности. Поэтому, длина концертного зала при 20 градусах по Цельсию равна длине вибрато-канала 44 метра 475 миллиметров. Для сравнения: в соответствии с уровнем акустики лучший в мире концертный зал "Концертгебау" в Амстердаме имеет длину 44 метров.

Ключевые слова: вокал, вибрато, инфразвук, модуляция, интонация, солитон, интерференция волн.

Поэзия – это философия народа в словах и музыке.

Она пробуждает творческое начало, созидание.

Введение

Голос певца в диапазоне вибрато 4-8 Гц летит поверх оркестра, «режет оркестр», как выражаются дирижеры. Эффект вибрато опирается на избирательную чувствительность слуха к частоте и резонаторы организма, найден опытным путем и объясняется превышением уровня высокой певческой форманты (ВПФ 1600-3200 Гц) над низкой певческой формантой (НПФ 300-900 Гц). В таком случае, уровень ВПФ мастеров вокала, более 42%, у непрофессионалов и эстрадных певцов – от 8 до 15% [1], [2].

Собственные тоны певцов на большой (65-123 Гц) и малой (131-247 Гц) октавах, глубину и бархатность басов и баритонов, НПФ, а, тем более, ВПФ не учитывают. Уровень ВПФ характеризуют слабое затухание обертонов на четвертой октаве, чем выражает красоту пения (bel canto). При низком уровне ВПФ сильно затухают обертоны и начинают преобладать частоты иных тонов. Объяснить вибрато 4-8 Гц анализом высоких частот невозможно в области инфразвука. Спектральный анализ [3]-[6] только углубляет в частности. Физико-математические методы акустики [7], [8] не дают ответа. Ближе всех суть вибрато раскрывают биения [8] – разность частот колебаний двух маятников (разность двух векторов) в слабосвязанных системах [9], но, в большей мере, теория солитонов [10] и интерференция волн.

Цель исследования – обоснование вибрато с помощью теории солитонов и интерференции волн для музыкальной и архитектурной акустики.

Поставленная цель достигается введением двух октав: одну с диапазоном от 4 до 8 Гц назовем вибрато-октавой; другую в диапазоне от 8 до 16 Гц – тремоло-октавой, которая примыкает к субконтроктаве. На предложенных октавах построим ступени – последовательность нот C, D, E, F, G, A, H, используя законы симметрии, золотого сечения, так как они лежат в основе октавной симметрии (табл. 1).

Таблица 1. Частоты нот (Гц)

Октава	C-до	D-ре		E-ми		F-фа		G-соль		A-ля		H-си
Субконт	16,352	18,354		20,602		21,827		24,500		27,500		30,868
Тремоло	8,176	9,177		10,301		10,914		12,250		13,750		15,434
Вибрато	4,088	4,588		5,151		5,457		6,125		6,875		7,717
Октава	до#/реb		ре#/миb				фа#/сольb		соль#/ляb		ля#/сиb
Субконт	17,324		19,445		Речевая форманта дикторов		23,125		25,957		30,868
Тремоло	8,662		9,723				11,563		12,979		14,568
Вибрато	4,331		4,861				5,781		6,489		7,284

Частоты, отвечающие нотам вибрато-октавы, находим делением частот ступеней первой октавы на 64, а частот тремоло-октавы – на 32. Нотам присвоим научную нотацию: для тремоло-октавы – C-1, D-1, …; для вибрато-октавы – C-2, D-2, …. Случайно ли вибрато-октава попала в диапазон 4-8 Гц?

Когерентные волны в голосе певца

Тенор Энрико Карузо в переложении на новую октаву оперировал вибрато 7,25-7,75 Гц, т.е. от частоты 7,284 Гц – «сиb^–2» до частоты 7,717 Гц – «си^–2» в пределах ⅓ - ⅔ тона. Значит, Карузо вибрировал на средней частоте 7,5±0,25 Гц, обогащая пение каждой ноты оттенками голоса с отклонением 0,25 Гц.

Температура (СанПиН 2.4.576-96) в зале 18-20 °С. При 20 °С скорость звука V=343,216 м/с. Делим V на длину концертного зала 45 м и получим частоту j=7,627 Гц, т.е. диапазон Карузо согласуется с вибрато-октавой. Для Т. Милашкиной частота j=6,38 Гц расположена между нотами «соль^–2» и «соль#^–2» (табл. 1). Длина ее канала вибрато V/j=53,796 м. У Дм. Хворостовского j=6 Гц, поэтому длина вибрато-канала l=57,203 м.

Чувствительность слуха позволяет идентифицировать шмеля с закрытыми глазами по жужжанию на частоте 220 Гц («ля^м» малой октавы), муху – 352 Гц (~«фа¹» первой октавы), пчелу – 440 Гц («ля¹»), комара – 600 Гц (~«ре²»). Слуховой аппарат устроен так, что определяет разность фаз приходящего от источника звука. Человек с закрытыми глазами направляет глаза в точку, откуда доносится жужжание. Поворотом головы компенсирует разность фаз между правым и левым ухом (сравн. с бинауральным эффектом [8]). Когда разность фаз будет равна нулю, откройте глаза и увидите, что источник жужжания попал в поле зрения, как говорят, ушки на макушке. Это пространственная когерентность указывает на фазовую чувствительность слуха на частотах звука 20-20000 Гц. Поэтому длину когерентности l=pu/Dw, где u – фазовая скорость, Dw – ширина спектра когерентности, и время когерентности t=p/Dw изучим, как солитон.

Данные Хворостовского (П. Чайковский «Примиренье») [3] указывают, что НПФ содержит «фа#¹» – главный тон 370 Гц первой октавы и «фа#²» второй октавы. Третий тон «фа#³» подавлен, так как относится к речевой форманте [1]. ВПФ представляет волновой пакет с максимумом на 4-м тоне «фа#⁴» – 2960 Гц и парой смещенных к «фа⁴» и «соль⁴» частот, меньшей энергии. Ухудшение пения ведет к преобладанию величины энергии смещенных частот над «фа#⁴» и появлению новых пар смещенных частот.

Разница частот между нотами «фа#¹» и «соль¹» 22 Гц. Скорость звука V делим на частоту ноты «фа#^–2» 5,781 Гц (табл. 1) и находим, что певец на расстоянии 59,37 м «уложил» ноты «фа#¹», «фа#²», «фа#⁴» в «десятку» по 10-балльной шкале качества. На расстоянии, большем 59,37 м, звук ноты «фа#» рассеивается (рис. 1) в 9, 8 и т.д. Таким образом, модуляция стягивает радиус рассеивания, чем препятствует рассеиванию звука.

Певец повторил ноту «фа#» на первой, второй и четвертой октавах, т.е. со слабым затуханием на четных обертонах без искажения другими частотами и подавлением нечетных обертонов, а последние – отличительная черта речи [1]. Частоты речевой форманты переносятся на вибрато-октаву делением на 256 (табл. 1). Так как частота ноты «фа#¹» растет с переходом на вторую и четвертую октавы (табл. 2), то основной тон и следующие за ним четные обертона вызывает доплеровское приближение певца к слушателю. Такое слуховое восприятие частот обуславливает интимность, духовный контакт певца со слушателем. Однако надо раскрыть суть вибрато в области инфразвука, поэтому ответим на следующий вопрос.

Рис. 1. Модуляция НПФ и ВПФ с помощью эффекта вибрато.

Каким способом певец переложил ноты «фа#¹», «фа#²», «фа#⁴» на инфразвук и «выстрелил» ими очередью в зал, поверх оркестра?

Эффектом вибрато певец малыми отклонениями от тона озвучивает пространство частот вокруг ноты, в данном случае «фа#¹». Оркестр печатает ноты на определенных дискретных частотах, а певец наполняет пространство между этими частотами, т.е. звучит субтонами внутри полутона. Дискретный спектр частот оркестра представляет собой пространство мертвых звуков без голоса певца. Голос певца превращает дискретную систему, описывающую биения обыкновенными дифференциальными уравнениями [9] в систему с распределенными параметрами.

Таблица 2. Градации тона в пространстве мертвых звуков

Октава	фа#	фа#1	фа#2	фа#3	фа#4	фа#5	фа#6	соль
I	370	371	374	377	378	381	384	392
II	740	742	748	754	756	762	768	784
IV	2960	2968	2992	3016	3024	3048	3072	3136
Оркестр	370	Пространство мертвых звуков						392
Вибрато	5,781	5,797	5,844	5,891	5,906	5,953	6,000	6,125
l (м)	59,370	59,206	58,730	58,261	58,113	57,654	57,203	56,035

Грудная клетка и брюшная полость резонируют на частотах 4-8 Гц. Певец дыханием опирается на диафрагму, поэтому налагает колебания организма на несущий сигнал пения, т.е. на НПФ и ВПФ. Тем самым, несущий сигнал модулируется сигналом низкой частоты 4-8 Гц (рис. 1). Возникают биения, воспринимаемые слухом как разность двух частот, а разность равна 6 Гц, в слабосвязанной системе [9]. Однако, теперь, это система с распределенными параметрами, так как дискретный спектр стал непрерывным спектром.

Итак, получен групповой вибрато-солитон, и эффект вибрато подчиняется теории солитонов и интерференции волн. Здесь скорость звука V равна фазовой скорости u, а ширина спектра когерентности Dw=pj становится малой величиной в области инфразвука 4-8 Гц. На частоте вибрато возникает почти монохроматическая волна. Тогда длина когерентности l=pV/Dw совпадает с длиной вибрато-канала l=pV/pj=V/j, которую вибрато-солитон проходит за время когерентности t=p/Dw=1/j. Поэтому длина когерентности l растет при уменьшении частоты инфразвука j: если j=8 Гц, то l=42,9 м; когда j=4 Гц, то l=85,8 м.

Вибрато в пространстве мертвых звуков

Рассмотрим пространство мертвых звуков между нотами «фа#¹» и «соль¹». При пении точно в ноту после ноты «фа#¹» переходим, например, к ноте «соль¹». Тем самым, синхронно с оркестром, перескакиваем мертвое пространство на полтона. Так как инструменты воспроизводят ноты на дискретных частотах, то при синхронном пении эффект вибрато отсутствует.

Пространство мертвых звуков расположено между нотами «фа#^–2» 5,781 Гц и «соль^–2», где от 6 Гц до ноты «соль» остается 0,125 Гц. Поэтому внутри этого пространства певец имеет свободный для градации высоты тона интервал 6,0 – 5,781=0,219 Гц. На первой октаве интервалу соответствует разность между частотами 384 и 370 Гц, равная 14 Гц (табл. 2). Градуируем интервал промежуточными тонами (рис. 2), так как ниже частоты 500 Гц слуховая система выделяет ~140 градаций высоты тона [8].

Для вибрато 6 Гц по высоте меняется частота [3], но установлено, что две триоли приходятся на 1 сек так, что каждая триоль длится полсекунды (рис. 2). Певец выдает вторую триоль, немного поднимая ее высоту над первой триолью. Начиная с ноты «фа#¹» первой октавы градуируем пространство мертвых звуков промежуточными тонами, т.е. субтонами: «фа#1», «фа#2», «фа#3», «фа#4», «фа#5», «фа#6», где верхний индекс ноты опускаем, на частотах 371, 374, 377, 378, 381 и 384 Гц, соответственно (табл. 2). После «фа#6» наступает пауза, равная 0,025 сек (заштриховано на рис. 2).

Рис. 2. Распределение промежуточных тонов на первой октаве.

Певец отделяет промежуточные тоны, меняя интонацию голоса при переходе от одного субтона к другому. Каждый следующий градуированный субтон обретает новый оттенок, поскольку слух отличает 140 градаций тона. Обозначить такое вибрато можно форшлагом в виде триоли с волнистой линией, согласно современной нотной записи.

На первой октаве разница между «сиb¹» и «си¹» 494–466=28 Гц равна ½ тона. На тремоло-октаве частота «сиb^–1» 14,568 Гц дает Dw=pj=45,7>28 Гц и перекрывает ½ тона до ноты «ля¹» 440 Гц (494–45,7=448,3), так как в тремоло звук содержит два тона. На вибрато-октаве частота «сиb^–2» 7,284 Гц, но Dw=22,9<28 Гц. Даже для ноты «си^–2» – 7,717 Гц Dw=24,23<28 Гц, поэтому певец не фальшивит перескоком в диапазон ноты «ля», как в тремоло.

Пространство мертвых звуков ограничено (0<t<1 сек, 370<f<392 Гц) (рис. 2). С частоты 370 Гц – «фа#¹» певец меняет градацию тона до 371 Гц, переходя к субтону «фа#1». Далее оперирует с субтоном «фа#2» на отрезке 371-374 Гц. Затем, освещает «фа#3» подъемом тона до 377 Гц и заканчивает первую триоль: «фа#1», «фа#2», «фа#3» за 0,5 сек.

Каждому субтону «фа#1», «фа#2», «фа#3» соответствует своя длина вибрато-канала l, согласно их частотам. Между субтонами «фа#1» и «фа#3» разность частот 377–371=6 Гц, т.е. равна частоте вибрато j=6 Гц за первую половину периода. Тем самым, получили вибрато, как разность частот.

Вторую триоль певец поет на частоте 378 Гц – «фа#4». Субтон «фа#5» певец градуирует, меняя частоту до 381 Гц. Затем, поднимая частоту до 384 Гц, на «фа#6» заканчивает вторую триоль паузой 0,025 сек. Разность частот второй триоли 384–378=6 Гц дает вибрато j=6 Гц на втором полупериоде, т.е. вибрато певец генерирует градациями тона, субтонами. Тем самым, певец модулирует несущий сигнал, чем препятствует рассеиванию звука.

Выведем оценку, согласно уровню акустики концертных залов (табл. 3).

Табл. 3. Оценка лучших концертных залов мира

Концертные залы больших размеров, длина которых близка к Lcr	Длина (м), x	Разность, y=x – Lcr	Качество, |y/ Lcr |·100(%)
«Золотой зал», Вена	48	+3,525	7,93
Большой зал Моск. консерватории	47	+2,525	5,68
Концерт-залы Бостона и Нью-Йорка	45	+0,525	1,18
«Концергебау», Амстердам	44	–0,475	1.07

Субтон «фа#6» с оценкой 10 баллов получит слушатель на расстоянии 57,203 м от певца. За границей отметки 57,203 м он слышит рассеянный субтон «фа#6» худшего качества, хотя субтоны «фа#1», «фа#2», «фа#3», «фа#4», «фа#5» долетают с качеством 10-баллов. Так как пение охватывает все ноты октавы, то следует важный факт. Наибольшую частоту 7,717 Гц (рис. 1, табл. 1) на вибрато-октаве имеет нота «си^–2». Чтобы слышать все ноты октавы с оценкой 10 баллов, слушатель должен располагаться, не далее 44,475 м от певца. Качественная оценка лучших концертных залов по отношению к критической длине L_cr=44,475 м приведена в табл. 3.

Лучшим среди лучших залов является концертный зал «Консертгебау» в Амстердаме, так как построен с применением новейших достижений акустики Hi-Fi, что признано ведущими экспертами мирового уровня. По сравнению с ним для других залов приходится принимать во внимание удаленность слушателя на балконе. Акустику концертного зала нарушает балкон, так как выносит длину зала за границу критической длины.

Заключение

Для обоснования эффекта вибрато октавная система дополнена вибрато-октавой – 4-8 Гц и тремоло-октавой – 8-16 Гц. Высокочастотный сигнал НПФ и ВПФ, т.е. несущий сигнал, модулируется сигналом низкой частоты 4-8 Гц, поэтому возникает вибрато, как биения – разность двух частот (векторов) в слабосвязанной системе с распределенными параметрами. Тогда ширина спектра когерентности Dw=pj определяется частотой вибрато j. Поэтому образуются когерентные волны и групповой солитон.

Из длины когерентности l=pV/Dw следует длина вибрато-канала l=V/j. На частоте ноты «си^–2» 7,717 Гц длина вибрато-канала l равна критической длине L_cr=44,475 м. Поэтому длина концертного зала ограничена L_cr, т.е. 44,475 метрами. Сравнение с лучшими концертными залами мира указывает, что предлагаемая теория адекватна опытным данным музыкальной и архитектурной акустики.

Голос певца – уникальный музыкальный инструмент. Певец голосом оттеняет в нотах такие градации тона, которые не под силу издать ни одному музыкальному инструменту. Звучание музыкальных инструментов образует дискретную решетку частот, разнящихся на полтона. Певец озвучивает пространство между решеткой частот градациями тона, поэтому вибрато прорывается сквозь оркестр, «режет оркестр». Разность между тоном решетки и градацией тона воспринимается слухом, как биения в системе с распределенными параметрами, т.е. как вибрато-солитон.

Литература

1. Морозов В.П. Искусство резонансного пения. Основы резонансной теории и техники. – М.: Изд-во МГК им. П. И. Чайковского, 2002.– 496 стр.

2. Морозов В.П. Способ комплексной оценки вокальной одаренности // Патент РФ № 2204170. Опубл. 10.05.2003 г.

3. Бакаев А.В. Исследование вокальной речи как нестационарного случайного процесса и разработка критериев объективной оценки певческого голоса: Автореф. дис. канд. техн. наук.– Таганрог, 2009.– 19 с.

4. Leydon C., Bauer J.J., Larson C.R. The role of auditory feedback in sustaining vocal vibrato // J. Acoust. Soc. Am. 2003.– Vol. 114, № 3.– P. 1575-1581.

5. Loskus A. Spectral processing of the singing voice: A dissertation submitted to the degree of Dr. per Universitat Pompeu Fabra. – Barcelona, 2007. – 165 p.

6. Vatti M., Santurette S., Pontoppidan N.H., Dau T. Maximum Acceptable Vibrato Excursion as a Function of Vibrato Rate in Musicians and Non-musicians // Presented at the 166th Meeting of Acoustical Society of America Fall. – San Francisco, 2013.

7. Кнудсен В.О. Архитектурная акустика.– М.: Либроком, 2010.– 520 с.

8. Алдошина И.А., Приттс Р. Музыкальная акустика.– СПб.: Композитор, 2006.– 720 с.

9. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М.: Мир, 1986. – 243 с.

10. Ньэлл А. Солитоны в математике и физике. – М.: Мир, 1989. – 328 с.

УДК 784:534.838.3

Когерентные волны в эффекте вибрато

Тукембаев Ч. А.

Исследовано вибрато в вокальной технике на частотах инфразвука 4-8 Гц. Эффект вибрато получил научное объяснение на основе теории солитонов и интерференции волн. Доказано, что в эффекте вибрато певец генерирует когерентные волны. Частота вибрато определяется шириной спектра когерентности, а длина вибрато-канала – длиной когерентности. Поэтому, длина концертного зала при 20 градусах по Цельсию равна длине вибрато-канала 44 метра 475 миллиметров. Для сравнения: в соответствии с уровнем акустики, лучший в мире концертный зал "Концертгебау" в Амстердаме имеет длину 44 метров.

Ключевые слова: вокал, вибрато, инфразвук, модуляция, интонация, солитон, интерференция волн.

Стр. – 10, рис. – 2, табл. – 3, библиогр. – 10 назв.

Coherent waves in vibrato

Tukembaev Ch. A.

In art of singing, we explored vibrato on the frequencies of infrasound from 4 to 8 Hz. The study is based using soliton theory and the wave interference. The vibrato as a phenomenon received a scientific explanation. Proved: singer generates coherent waves in the effect of vibrato. Vibrato frequency determined by the width of the coherence spectrum, but the vibrato channel length is determined by the coherence length. Hence, the length of concert hall is determined by the length of the vibrato channel – 44 meters 475 millimeters. The temperature for the concert hall is 68 degrees Fahrenheit. For comparison, the best in the world (according to the level of acoustics) concert hall "Concertgebouw" in Amsterdam has a length of 44 meters.

Key words: vocals, vibrato, infrasound, tone, inflection, soliton, wave interference.

Pages – 10, figures – 2, tables – 3, bibliography – 10 references.

Тукембаев Чоро Абдылдаевич, заместитель директора Научно-исследовательского центра Навье-Стокса Кыргызского Государственного Национального университета им. Ж. Баласагына.

Адрес: Кыргызстан, г. Бишкек, ул. Манаса, д. 66.

e-mail: choro_tukembaev@mail.ru

Choro Abdyldaevich Tukembaev, Deputy Director of the Research Center of the Navier-Stokes, Balasagyn Kyrgyz National University, 66, str. Manas, Bishkek, Kyrgyzstan.

e-mail: choro_tukembaev@mail.ru

Научно-исследовательский центр Навье-Стокса

Киргизский государственный национальный университет

им. Ж. Баласагына

Поступила в редакцию 13.01.2014.