Математическая
морфология.
Электронный
математический и медико-биологический журнал. - Т. 13. -
Вып. 3. - 2014. -
URL:
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-43-html/TITL-43.htm
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-43-html/cont.htm
УДК
621.372.2
Зависимость
спектральной характеристики сигнала от
вида оконных функций
Ó 2014
г. Пучков Ю. И.
В спектральном анализе сигналов широко используются различные оконные
функции. Их применение приводит к смещению получаемой частотной характеристики
и уменьшению её дисперсии. В данной статье рассматривается другой подход к
оценке влияния окон на частную характеристику сигнала.
Ключевые слова: амплитудный спектр,
спектральный анализ, временные окна.
Спектральное оценивание сигналов основано на замене спектральной
характеристики сигнала, полученной на
основе классических формул, его спектральной характеристикой полученной по
формулам оценки спектра, сформированных на основе этих классических определений
спектра [1,2]. Анализ поучаемых спектральных оценок показывает, что спектральная
характеристика представляет собой нестационарный процесс, а её автокорреляционная
функция отлична от нуля только в нуле, то есть соседние спектральные составляющие
спектра не коррелированны[1]. Следует подчеркнуть, что эти качества относятся
именно к оценкам спектра, а не к спектральной характеристике сигнала получаемой
на основе классического определения спектра.
Указанные обстоятельства не позволяют рассматривать
полученную спектральную оценку как характеристику весьма близкую к истинной спектральной
характеристике сигнала. Вместо этого ставят более ограниченные задачи.
Например, определить диапазон частот, занимаемый сигналом, найти отдельные
гармоники, выделить близкорасположенные гармоники и т.п. Спектральное
оценивание всегда проводят по конечной реализации сигнала, и, как следствие,
получаемый спектр занимает весь частотный диапазон, а истинный спектр сигнала
ограничен по частоте. Такое растекание спектра как раз и обусловлено
использованием временных оконных функций.
Спектральное представление F(ω) сигнала x(t) основано
на преобразовании Фурье
Будем впредь полагать, что сигнал x(t) симметричен относительно начала координат. Реальный
сигнал можно интерпретировать, как результат
умножения сигнала в бесконечных пределах на оконную функцию p(τ) единичной
амплитуды и соответствующей длительности τ. В таком случае находим спектр
не сигнала x(t), а спектр сигнала y(t) = x(t)∙p(τ). Спектральное представление сигнала y(t) и принимают за
спектральную оценку сигнала x(t). Пусть спектр окна p(τ) есть
P(ω). В соответствие со свойством преобразования
Фурье спектр Y(ω) сигнала y(t) будет
представлять свёртку спектров
где знак *
означает операцию свёртки. Очевидно спектр Y(ω) будет отличаться от спектра F(ω). Это отличие определяется видом функции P(ω).
Вместо прямоугольного импульса p(τ)
можно взять импульс той же длительности, но другой формы. Такие импульсы
в спектральном оценивании сигналов называют временными окнами. В зависимости от
формы импульсов они будут иметь и своё спектральное представление. Выбор типа окна
и анализ его влияния на спектральное оценивание сигнала x(t) достаточно подробно рассмотрен в многочисленной литературе по спектральному
анализу сигналов.
Рассмотрим влияние оконных функций на спектральное
оценивание сигналов иначе. Преобразование Фурье двойственно, а именно, имеется
прямое и обратное преобразование. Это формально записывают в виде x(t) ~ F(ω), то
есть из x(t) получают Y(ω) а из F(ω) получают x(t).Следовательно,
из Y(ω) можно получить лишь y(t), но не x(t). Судить же по
Y(ω) о F(ω),
вообще говоря, не корректно.
Спектр плотности Y(ω) амплитуд гармонических составляющих сигнала y(t) отличается от
спектра плотности F(ω) прежде всего в области
низких частот, где обычно сосредоточена основная доля энергии сигнала. Оконные
функции искажают края низкочастотных амплитуд составляющих сигнала и поэтому
они определяются с большей погрешностью. Пусть, например, до обработки сигнала
окном в его составе присутствовала низкочастотная косинусоида длительностью в
один – два периода на диапазоне определения сигнала x(t). В спектре F(ω) она будет достаточно явно присутствовать.
После же обработки окном этот гармонический сигнал существенно исказиться и, как следствие, его представление в
спектре будет более размыто.
Влияние окна на спектральную плотность поясняется
рисунком 1, где буква частоты ω заменена на w.
Рисунок 1. Качественные графики F(ω) и P(ω)
Частотная характеристика F(ω) ограничена по частоте максимальным значением
частоты ωмакс, за пределами которой составляющими спектральной
характеристики пренебрегают. спектра P(ω)
всегда содержит главный лепесток и, симметрично от него расположенные,
убывающие по амплитуде боковые лепестки. Для вычисления величины спектра
плотности на частоте ω1 необходимо перемножить указанные на рисунке
спектры и вычислить интеграл
Очевидно, что Y(ω1) не
равно F(ω1). Следует учесть, что у реальных окон боковые
лепестки существенно меньше амплитуды
главного лепестка, а для некоторых окон их наличием фактически можно
пренебречь. Ширина же главного лепестка самая узкая у прямоугольного окна, и.
как правило, чем меньше уровень боковых лепестков, тем шире главный лепесток[3].
Из рисунка и формулы для Y(ω1)
следует, что значение величины спектральной плотности на частоте ω1 по сути является усреднением спектральной плотности F(ω) на диапазоне главного лепестка спектральной
плотности окна, с весами значений P(ω).
В результате этого происходит сглаживание оцениваемого спектра, а получаемая
характеристика оказывается более устойчивой. Чем шире главный лепесток спектра
окна, тем более сглаженным получается спектр. Боковыми лепестками, даже если их
величина небольшая, не стоит пренебрегать, только в том случае, когда
производят оценку величины небольших компонент спектра при наличии относительно
далеко расположенных сильных компонент.
Если всё же ставиться задача получения спектра F(ω),
то возникает задача создания «подходящего» окна[3]. Поэтому предлагаются всё
новые окна, но, как правило, их характеристики не имеют существенных
преимуществ перед давно известными окнами. Естественно возникает вопрос, а
какой вид должна иметь P(ω) идеального окна? Чтобы свёртка F(ω)* Р(ω) = F(ω) необходимо выполнения условия P(ω)=δ(ω), то есть частотная характеристике
окна должна представлять собой дельта-импульс, что возможно только для временного
окна в бесконечных пределах.
Поскольку применение окон приводит к сглаживанию спектра, то операцию сглаживания можно
выполнить и иначе. Можно применить прямоугольное частотное окно небольшой
ширины относительно ширины спектра. Именно так можно объяснить вычисление спектра по Даньеллу [1]. Применение этого
окна для целей сглаживания не является оптимальным. В теории временных рядов для их сглаживания применяют процедуру нахождения
тренда по методу скользящего среднего. Подобный алгоритм целесообразно использовать
и для вычисления текущего среднего значения спектра. Но для его применения
необходимо располагать отдельными дискретными отсчётами спектра. Они всегда
присутствует при использовании дискретного
преобразования Фурье (ДПФ). Если же спектр непрерывный, и известна его максимальная
частота, то исходный временной сигнал может быть проквантован в соответствии с
теоремой Котельникова с расстоянием между отдельными отсчётами равным T ≤
1/(2∙ f макс). Если длительность
временного сигнала равна интервалу времени его наблюдения Tн, то число N дискретных
отсчётов временного сигнала определяют как N = Tн/T. Столько же
дискретных отсчётов, как следует из
свойства ДПФ, должен иметь и частотный спектр. Процедура нахождения скользящего
среднего позволяет заранее (в зависимости от выбранного полинома и числа точек
аппроксимации) вычислить, насколько уменьшиться дисперсия сглаженного спектра
относительно дисперсии исходного спектра. Так при использовании
аппроксимирующего полинома 3-ей степени для 7-ми отсчётов исходной
характеристики набор коэффициентов имеет вид (1/21)∙(-2,3,6,7,6,3,-2). В
этом случае, если дисперсия исходной последовательности равна Dx, то сглаженная оценка будет иметь дисперсию
Рассматривая влияния оконных функций на спектральную
характеристику сигнала можно сделать следующие выводы. Применение оконных
функций позволяет оценить не спектр сигнала x(t), а спектр
сигнала. y(t). Применение окон существенно искажает низкочастотную
часть спектра и приводит к сглаживанию частотной характеристики. Если длина
реализации сигнала x(t) превышает
два периода нижней оцениваемой частоты спектра, то целесообразно применять
прямоугольное окно. В качестве операции
сглаживания спектральной характеристики целесообразно использовать разработанные
алгоритмы вычисления тренда временных рядов.
Литература
1.
Марпл-мл.
С. Л Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.:Мир,1990.
584с.
2.
Сергиенко
А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов.2-е изд. – СПб. Питер,2007.751
с.
3. Ричард Лайонс. Цифровая
обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. – М.: ООО «Бином-Пресс»,
2009. 656 с.
The dependence of the
spectral characteristics signal type window functions
Puchkov Yu. I.
In the spectral analysis of signals are widely used
various window functions.Their application leads to the shift of the frequency
response and reduce its dispersion.This article discusses another approach to
estimating the impact of Windows on the frequency response signal.
Key words: spectral estimation, convolution of functions,
timing window.
Филиал ФГБОУВПО "Национальный исследовательский университет МЭИ"
в г. Смоленске
Поступила
в редакцию 12.09.2014