УДК 621.396.1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОХОЖДЕНИИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЦЕПИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MAPLE

© 1999 г. Л. Л. Лямец

В данной статье показаны возможности математического пакета Maple, позволяющего численно и аналитически решать прикладные математические задачи любого уровня сложности. На практическом примере показано применение символьного анализатора и графические возможности пакета Maple. В качестве иллюстрации возможностей математического пакета рассматривается решение задачи о прохождении детерминированного радиотехнического сигнала через линейную стационарную цепь. Статья ориентирована на инженеров и научных работников, занимающихся решением прикладных математических задач в различных областях науки.

Решение задачи о прохождении сигналов через электрические цепи имеет большое прикладное значение в радиотехнике. В общем случае эта задача формулируется следующим образом. На входе исследуемой цепи с заданной электрической схемой и известными параметрами действует детерминированный радиотехнический сигнал . Необходимо вычислить сигнал на выходе электрической цепи. Рассмотрим один из возможных способов решения данной задачи, основанный на использовании изображений по Лапласу для входного радиотехнического сигнала и передаточной функции электрической цепи.

Пусть - напряжение на входе электрической, определенное при и равное нулю при отрицательных значениях времени. Для заданной математической модели входного сигнала через прямое преобразование Лапласа

, (1)

можно вычислить изображение входного сигнала .

Для исследуемой электрической цепи с заданной схемой и известными параметрами элементов можно вычислить входное и выходное операторные сопротивления. Передаточная функция электрической цепи по напряжению аналитически определяется через отношение выходного и входного операторных сопротивлений

. (2)

Известное комплексное изображение входного радиотехнического сигнала по Лапласу и известная передаточная функция цепи по напряжению позволяют вычислить изображение по Лапласу для сигнала на выходе электрической цепи. Изображение выходного сигнала вычисляется по формуле

. (3)

Для перехода от изображения к математическому описанию выходного сигнала во временной области необходимо использовать обратное преобразование Лапласа

. (4)

Функция описывает реакцию электрической цепи на заданное входное воздействие и является решением задачи о прохождении детерминированного сигнала через линейную стационарную цепь.

Очевидно, что вычисление реакции на выходе электрической цепи при заданном входном воздействии связано со сложными математическими вычислениями. Решение задачи существенно упрощается при использовании математического пакета Maple. Maple - это математический пакет предназначенный для автоматизации процесса сложных аналитических, численных и графических вычислений. При решении прикладных математических задач Maple позволяет получить ответ в самой точной форме - символьной, более точной, чем позволяет любой из численных методов.

При загрузке программы автоматически загружается новый рабочий лист (worksheet), на котором пользователь увидит приглашение для ввода команды > (prompt). Наиболее простым режимом работы в среде Maple является режим командной строки, иначе называемым интерактивным режимом. В командную сроку можно записать любое алгебраическое выражение, то есть выражение, состоящее из имен переменных и функций, чисел и символьных констант, соединенных алгебраическими операторами. Если в конце выражения поставить знак ";" (точка с запятой), то при нажатии клавиши Enter или кнопки с восклицательным знаком на инструментальной панели выражение будет обработано программой, а результат выведен на экран монитора.

Рассмотрим практический пример расчета реакции на выходе линейной стационарной цепи на детерминированный входной радиотехнический сигнал с использованием символьного анализатора математического пакета Maple. Пусть на входе электрической цепи, показанной на рис 1, действует одиночный прямоугольный видеоимпульс с амплитудой и длительностью . Середина импульса смещена относительно начала отсчета времени на величину . Электрическая цепь содержит электрические элементы , и .

Рис. 1

После загрузки математического пакета Maple в командной строке нового рабочего листа укажем основные параметры входного сигнала и исследуемой электрической цепи

> U:='1'; t0:='3e-4'; ti:='2e-4'; R:='5'; C:='0.5e-6'; L:='0.2e-3';

Для решения задачи необходимо задать математическую модель для одиночного прямоугольного видеоимпульса. Входной импульсный сигнал во временной области аналитически можно представить в виде алгебраической суммы двух единичных ступенчатых функций или функций Хевисайда. Ступенчатые функции должны иметь одинаковые по модулю и противоположные по знаку амплитуды. Первая единичная ступенчатая функция действует в момент времени , и имеет положительную амплитуду, а вторая действует в момент времени и имеет отрицательную амплитуду. Из вышесказанного следует, что математическая модель во временной области для входного одиночного прямоугольного видеоимпульса в командной строке может быть записана в виде

> X(t):=Heaviside(t-(t0-(ti/2)))-Heaviside(t-(t0+(ti/2)));

Важнейшим достоинством пакета Maple являются его графические возможности. Графики, построенные в среде Maple, позволяют удовлетворить большинство научных и инженерных потребностей, могут служить прекрасной графической иллюстрацией полученных аналитических решений. Заданная математическая модель входного сигнала позволяет вывести на экран временную диаграмму входного сигнала. Для этого в командной строке следует указать команду plot и временной интервал, в котором строится график.

>plot(X(t),t=0..5e-4);

Рис. 2

Временная диаграмма входного прямоугольного видеоимпульса, построенная по математической модели , показана на рис. 2.

Помимо команд, находящихся в основной библиотеке Maple, большое количество команд, расширяющих функциональные характеристики программы в отдельных областях математики, находятся в соответствующих специализированных пакетах, имеющихся в Maple. При вычислении изображения по Лапласу для входного сигнала по формуле (1) воспользуемся пакетом интегральных преобразований inttrans. Данный пакет содержит команды, позволяющие автоматизировать прямое и обратное преобразование Лапласа от заданных функций. Для загрузки пакета inttrans в командной строке необходимо указать

with(inttrans);

[addtable, fourier, fouriercos, fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invlaplace, laplace, mellin]

Вычислим изображение по Лапласу от входного сигнала .

> X(s):=laplace(X(t),t,s);

.

Для заданной электрической цепи входное операторное сопротивление будет определяться выражением

.

Выходное операторное сопротивление цепи равно сопротивлению резистора

.

Передаточную функцию электрической цепи по Лапласу вычислим по формуле (2), а затем по формуле (3) рассчитаем и одновременно командой simplify упростим выражение , описывающее изображение выходного сигнала по Лапласу. Для реализации вычислений в командной строке следует указать

> w(s):=(R*C*s)/(L*C*s^2+R*C*s+1); Y(s):=simplify(w(s)*X(s));

.

Воспользуемся реализованным в пакете стандартных интегральных преобразований inttrans обратным преобразованием Лапласа (4) и по известному изображению выходного сигнала вычислим математическое описание выходного сигнала во временной области. Зададим командную строку и вычислим функцию .

> Y(t):=invlaplace(Y(s),s,t);

.

Полученное в результате обратного преобразования Лапласа математическое выражение для выходного напряжения позволяет построить график.

> plot(Y(t),t=0..10e-4);

Рис. 3

На рис 3 показана временная диаграмма выходного напряжения. На ней можно видеть колебательную реакцию электрической цепи на передний и задний фронты входного прямоугольного видеоимпульса.

Изложенная выше методика расчета реакции линейной стационарной цепи на детерминированное входное воздействие с использованием математического пакета Maple может быть использована для решения практических задач в области радиотехники. Очевидно, что при изменении характера входного воздействия или схемы и параметров электрической цепи, изменяющих ее передаточную функцию , получение конечного решения не представляет особых трудностей, так как наиболее сложные аналитические выражения вычисляются программой автоматически. Это существенно снижает трудовые затраты на проведение сложных математических вычислений и позволяет избежать ошибок.

Кафедра радиотехники

Военный университет ВПВО СВ РФ

Поступила в редакцию 2.07.99.