УДК 658.512.2:681.3.06

СОГЛАСОВАНИЕ ИСХОДНОЙ СУБЪЕКТИВНОЙ ИНФОРМАЦИИ В МЕТОДАХ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

© 1999 г. Е. В. Харитонов

В статье рассматриваются способы представления и коррекции субъективных данных, анализируются их недостатки применительно к задачам, решаемым с использованием методов анализа иерархий. Предложен новый способ коррекции экспертных оценок методом дискретной минимизации отношения несогласованности, позволяющий расширить область применения методов анализа иерархий в условиях неопределенности за счет автоматического (программного) распознавания локальных областей экспертных оценок в факторном пространстве исходных данных, характеризующихся минимаксными значениями показателя отношение несогласованности и решением на этой основе задачи самокоррекции исходных данных без привлечения дополнительной информации с целью повышения качества принимаемых решений методами анализа иерархий.

Методы анализа иерархий (МАИ), разработанные известным ученым Саати Т.Л. [1], успешно применяются на практике для принятия решений (ПР) в сложных организационно-технических системах. Оценка вариантов решений с использованием МАИ осуществляется как на основе объективной, так и субъективной исходной информации.

В том случае, когда исходная информация получена из объективных источников в полном объеме, а значения показателей непротиворечивы, результаты задач ПР однозначны и соответствуют мнению ЛПР. Поэтому, нет необходимости в согласовании исходных данных.

При использовании в процессе принятия решений субъективной информации, представленной в виде количественных (числовых) или качественных (лингвистических) оценок, возникают условия неопределенности. Причинами возникновения неопределенности являются: неполнота знаний ЛПР о свойствах объектов; недостаточная степень уверенности ЛПР в правильности своих экспертных оценок; противоречивость знаний; нечеткость представления информации.

Последствиями проявления неопределенности являются систематические и случайные ошибки опроса ЛПР. Ошибки в экспертных оценках приводят к несогласованности данных и нарушению таких свойств суждений и отношений как связность и транзитивность.

Качество, а, следовательно, точность и обоснованность принимаемого решения тем хуже, чем больше нарушены свойства связности и транзитивности между экспертными оценками исходного факторного пространства. Полное отсутствие рассматриваемых свойств в системе предпочтений не позволяет осуществить однозначный выбор (стр. 176 [8]) на множестве объектов, представляющих собой альтернативные варианты. Поэтому, при практическом принятии решений, ЛПР стремится восстановить указанные свойства, а затем на их основе согласовать данные, повысив, тем самым, качество и обоснованность решений. В статье рассматриваются способы повышения качества принимаемых решений, основанные на методах согласования данных..

1. Особенности представления и согласования субъективно полученной информации

Механизмы коррекции данных зависят от способов представления информации. С этой целью рассмотрим особенности получения и представления субъективной информации.

Исходные субъективные данные, характеризующие свойства объекта могут выражаться в виде суждений и отношений.

Суждения характеризуют свойства объектов безотносительно к другим свойствам, то есть по абсолютным значениям. Известно, что при многокритериальном принятии решений трудно сравнивать по абсолютному значению показатели свойств имеющие разную физическую природу и судить о согласованности информации.

Элементарные суждения, как способ выражения предпочтений, могут быть описаны с помощью свойств бинарных отношений. Сложные суждения, состоящие из элементарных, описываются сложными модельными отношениями, состоящими из бинарных.

Особенностью представления данных в виде отношений является тот факт, что с помощью отношений могут быть формально описаны связи между элементами и свойствами объектов различной физической природы.

Если модельные отношения выражают предпочтения ЛПР на множестве альтернатив, то их называют отношениями предпочтения, сформированными на этом множестве.

В отличие от суждений, отношения предпочтения позволяют сравнивать как разнородные свойства объекта или процесса между собой, так и альтернативные объекты и процессы по каждому из свойств. Поэтому наиболее часто на этапе подготовки принятия решений в сложных организационно-технических системах представление суждений осуществляют в виде значений показателя отношения предпочтения двух и более свойств с учетом интересов лица принимающего решения. Основой отношений предпочтения являются свойства элементарных бинарных отношений.

Анализ отношений предпочтения показал, что они могут быть сформированы на основе модельных отношений, которые обладают различными наборами свойств бинарных отношений (таблица 1) и можно проследить связь между элементарными суждениями и отношениями предпочтения через свойства бинарных отношений.

Свойства бинарных отношений, которыми обладают исходные данные, взаимосвязаны со способами выражения предпочтений.

В таблице 2 показано примерное соответствие необходимых свойств бинарных отношений для реализации способов сравнения объектов в целях получения предпочтений между ними.


Таблица 2

СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ СПОСОБЫ СРАВНЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

Для осуществления однозначного выбора на множестве альтернатив, выявленные предпочтения ЛПР должны в наибольшей степени соответствовать "идеальной" системе предпочтений, которой соответствуют условия и цель выбора. Система предпочтений в этом случае должна обладать такими свойствами бинарных отношений, как: транзитивность; асимметричность (или рефлексивность); связность.

Следовательно, из всех градаций модельных отношений, классифицированных в целях практического выявления и оценивания предпочтений в соответствии со схемой однозначного выбора, можно выделить:

связный квазипорядок;

связный нестрогий порядок;

связный строгий порядок.

Для получения наиболее точной системы предпочтений, в соответствии с правилами которой не допускается нестрогое сравнение альтернатив, между исходными данными должен быть установлен связный строгий порядок.

В соответствии с этим, требованиями к оценкам являются:

связность оценок между собой;

наличие отношения транзитивности (отсутствие циклов в отношениях);

асимметричность в связях между оценками.

Основными из рассматриваемых свойств бинарных отношений являются связность и транзитивность на множестве экспертных оценок.

Для обеспечения указанного набора свойств, вся полученная от ЛПР информация должна быть проверена на согласованность.

В зависимости от того, кто или что осуществляет процесс согласования, традиционно выделяют два типа процедур согласования [3, 4, 5, 6, 7]: "чисто переговорные", то есть без использования вычислительной техники и многоуровневые, (итеративные) без личных контактов с контролируемой обратной связью, осуществляемой специальным программным обеспечением.

В дальнейшем будем вести речь только о данных и решениях, поскольку для согласования исходных и промежуточных данных используются одинаковые процедуры.

Согласование решений, в отличии от согласования исходных экспертных оценок, не позволяет полностью исключить ошибку, полученную при опросе эксперта. Это объясняется тем, что в методах согласования решений используются только значения характеристик альтернативных решений, которые, в свою очередь, были получены на основе несогласованных исходных данных. Следовательно, перед процедурой согласования полученных решений, необходимо проверять требуемый уровень согласованности значений показателей исходных экспертных данных и при необходимости корректировать эти значения.

Наиболее распространенными способами согласования исходных данных являются: единоличный пересмотр значений оценок самим ЛПР или путем повторного экспертного опроса с привлечением группы ЛПР.

Согласование данных полученных с привлечением групп ЛПР, также как и согласование групповых решений основано на методах: идеальной точки; ранжирования по Парето; кусочно-линейной аппроксимации; с использованием "лямбда" коэффициентов; и других методах.

Однако, при принятии решений в условиях, характеризующихся малыми временными сроками и отсутствием групп компетентных лиц, т.е. при единоличном принятии решений в условиях реального масштаба времени, вышеизложенные методы не применимы.

Для согласования исходных оценок при единоличном принятии решений в условиях реального масштаба времени проанализируем способ оценки согласованности данных, представленных в виде обратно симметричной матрицы парных сравнений.

2. Оценка согласованности данных в матрице парных сравнений

Метод оценки согласованности данных (wij), представленных в виде обратно симметричной матрицы парных сравнений (1), разработан Саати Т.Л. в [1] и применяется в МАИ.

(1)

Он основан на рассчете численного значения показателя согласованности, называемого отношением согласованности (ОS).

, (2)

где IS - индекс согласованности экспертных оценок; SS - случайная согласованность экспертных оценок матрицы размерностью n (табл. 3.14 стр. 177 [4]).

Индекс согласованности определяется по формуле

, (3)

где lmax - наибольшее собственное значение обратно симметричной матрицы М (1); n - количество столбцов и строк матрицы.

Наибольшее собственное значение определяется по формуле

, (4)

,

где i - индекс строки матрицы М; j - индекс столбца матрицы М; - экспертные оценки.

Показатель OS характеризует согласованность множества субъективных оценок, полученных способом парного сравнения и представленных в виде отношения предпочтения сравниваемых свойств.

Значение ОS, меньшее или равное 0.10 (10%) [1], считается допустимым, а по исходным данным могут быть получены решения. Если значение ОS превышает допустимый уровень (найденное значение ОS больше ОSдоп=0.10), то исходная информация недопустимо искажена ЛПР (противоречивость информации выше нормы) [1, 2]. В этом случае принятые решения будут характеризоваться большой неточностью и очень низким качеством. Следовательно, требуется пересмотр исходной информации или привлечение дополнительных источников ее получения.

В качестве вывода, хочется заметить, что область применения МАИ ограничена требуемым уровнем согласованности исходной экспертной информации, а задачи ПР и выбора могут быть решены методами анализа иерархий только при полном объеме исходной информации и допустимом уровне согласованности экспертных оценок.

С целью снижения уровня несогласованности информации в МАИ используется способ коррекции исходных данных, который относится к единоличным способам пересмотра и согласования оценок самим ЛПР и предполагает заранее неизвестное число циклов пересмотра и изменения значений экспертных оценок с повторной проверкой на согласованность, до тех пор, пока не будет достигнут допустимый уровень согласованности оценок. Такой поиск в большей мере случаен, так как не задан механизм уменьшения несогласованности экспертных оценок (отсутствует критерий изменения оценок). Кроме того, этот поиск крайне трудоемок и требует многократного обращения к эксперту с целью пересмотра исходных и вновь полученных данных на предмет их согласованности. Помимо всего прочего, он не может быть использован в автоматических системах для коррекции субъективно полученной информации при принятии решений.

Следовательно, для расширения области применения методов анализа иерархий возникает необходимость в разработке способов автоматического согласования экспертных данных при недопустимом уровне несогласованности.

С этой целью рассмотрим процесс проверки и согласования данных на основе широко распространенной процедуры транзитивного замыкания отношения предпочтения в условиях реального масштаба времени.

3. Методы транзитивного замыкания отношения предпочтения и их основные недостатки

Отыскание набора оценок свойств альтернатив, обладающих свойствами связности и транзитивности, связано с операцией замены не транзитивного отношения R "ближайшим" к нему наименьшим транзитивным отношением R*, включающим в себя R. Такая операция называется транзитивным замыканием отношения R. Транзитивное замыкание часто используют для уточнения экспертных данных на этапе подготовки принятия решения.

В зависимости от функционала, лежащего в основе процедуры транзитивного замыкания различают: минимаксную, максиминную, максимультипликативную и др. стратегии. Более подробно способы транзитивного замыкания отношения предпочтения на основе наиболее часто применяемых стратегий замыкания рассмотрены в [8, 9]. Однако все представленные способы обладают рядом существенных недостатков, ограничивающих их использование в методах анализа иерархий при коррекции субъективно полученных данных.

На примере одного из способов транзитивного замыкания проведем анализ достоинств и недостатков этой разновидности способов коррекции данных.

Известно, что свойство транзитивности, является необходимым условием формирования системы предпочтений. По определению, отношение R называется транзитивным, если для любой тройки элементов d1, d2, d3 выполняется условие, такое что из

(d1, d2) и (d2, d3) следует, что (d1, d3).

В формализованном виде операция транзитивного замыкания может быть представлена в виде равенства

где - композиция отношения R;

, , ... ,

а композиция определяется по правилу перемножения матриц смежности отношений R с заменой арифметических операций операциями булевой алгебры.

Если данные согласованы, то после проведения операций транзитивного замыкания их численные значения не изменяются. В противном случае, они уточняются.

Уточненные оценки, полученные на основе выбора из исходного множества экспертных оценок, обладают рядом существенных недостатков: в них присутствует изначально заложенная экспертом погрешность суждений; значения уточненных оценок ограничиваются множеством исходных значений, что по своей сути противоречит суждениям эксперта; после завершения процедуры транзитивного замыкания возникает "через диагональная несогласованность данных", представленных в виде обратно симметричной матрицы.

Возникла научная проблема коррекции неповторяющихся от опыта к опыту исходных экспертных оценок за счет определения и устранения заложенной в них ошибки опроса.

4. Согласование данных методом дискретной минимизации отношения несогласованности

В противоположность методу транзитивного замыкания, основанному на булевой алгебре, предлагается более точный (по показателю отношение согласованности [1]) и более простой (по количеству реализованных процедур вычислений и проверочных циклов, соответствующих числу итераций) способ коррекции экспертных оценок, основанный на разработанном автором методе дискретной минимизации отношения несогласованности экспертных данных.

Метод предназначен для повышения качества принимаемых решений в условиях неопределенности. Применение указанного метода позволяет повысить согласованность экспертных данных на этапе подготовки принятия решения до определения рангов показателей свойств альтернатив и самих альтернатив по каждому из свойств.

Особенность "Метода дискретной минимизации отношения несогласованности экспертных данных" состоит в том, что он расширяет область применения методов анализа иерархий, позволяя решать задачи принятия решений при уровне несогласованности исходной информации от 2 до 40%.

Метод включает в себя:

способ определения отношения несогласованности данных по каждому из сравниваемых свойств объектов;

алгоритм согласования оценок.

Способ предназначен для определения численного значения показателя отношения несогласованности данных (NOS). В основу способа положено предположение о различной степени уверенности ЛПР в правильности своих оценок по каждому из свойств объектов.

Выражение для определения показателя NOS может быть найдено следующим образом. Подставим в (2) выражение (3) и обозначим через каждое из слагаемых выражения (3). Получим выражение для определения отношения несогласованности (4).

, (4)

Модуль численного значения NOS характеризует абсолютную величину отношения несогласованности каждого из свойств объекта. Сумма значений отношения несогласованности экспертных оценок для каждого из свойств объекта образует отношение согласованности всего массива оценок, представленных в виде матрицы М.

Способ определения отношения несогласованности данных предназначен для оценки областей знаний эксперта по каждому из свойств на предмет непротиворечивости полученных от эксперта исходных данных по показателю NOSi. Оценки NOSi указывают данные, которые обладают наибольшей и наименьшей ошибкой экспертного опроса.

Определение экспертных оценок, обладающих наибольшей ошибкой, является решением задачи поиска тех данных, которые наиболее существенно влияют на весь массив оценок (обратно симметричную матрицу отношений предпочтения) и определяют значение интегральной оценки - отношение согласованности ОS. Способ определения отношения несогласованности оценок по каждому из свойств объекта является набором процедур по определению ошибок в экспертных оценках. Критерием принятия решения и выбора лучшей из альтернатив является минимизация численного значения показателя ошибки. Использование способа определения отношения несогласованности данных в разработанном методе является непременным условием работы алгоритма согласования оценок для определения направления минимизации отношения несогласованности экспертных данных.

Поскольку все экспертные оценки известны в полном объеме, то существует алгоритм, позволяющий по оценкам, характеризующимся минимальным значением отношения несогласованности, уточнять оценки, характеризующиеся максимальным значением отношения несогласованности.

Алгоритм согласования оценок состоит из следующих этапов:

1. Определение отношения несогласованности NORi экспертных данных по каждому из свойств объекта "Способом определения отношения несогласованности".

2. Ранжирование свойств по показателю NOR и определение свойств с максимальным и минимальным численными значениями NORi (определение строк матрицы М).

3. Расчет новых оценок в строке матрицы М, характеризующихся максимальным значением показателя NORi по исходным экспертным оценкам строки с минимальным значением NORi.

4. Запись полученных новых оценок в матрицу М.

5. Расчет показателя "отношение согласованности".

6. Проверка допустимого уровня согласованности данных.

7. Повторный расчет новых оценок при не выполнении условия допустимости с повторением пунктов 3...6 алгоритма.

8. Расчет коэффициентов важности (рангов) показателей свойств объекта при выполнении условия допустимости.

9. Определение наиболее предпочтительного объекта.

В результате применения алгоритма исходные данные корректируются и достигается требуемый уровень согласованности, при котором возможно определение численных значений коэффициентов важности (рангов) показателей свойств и сравнение объектов по выбранным показателям и критерию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саати Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993.
2. Саати Т. Л., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. - М.: Радио и связь, 1991.
3. Трахтенгерц Э. А. Генерация, оценка и выбор сценария в системах поддержки принятия решений. - АиТ. - №3. - 1997.
4. Трахтенгерц Э. А. Компьютерная поддержка принятия решений. М.: СИНТЕГ, 1998.
5. Шнейдерман М. В. Процедуры коллективного экспертного опроса и их экспериментальное исследование. - АиТ. - №5. - 1988. - С.3-16.
6. Мулен Э. Коперативное принятие решений: Аксиомы и модели. пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 464 с.
7. Данилов В. И., Сотсков А. И. Механизмы группового выбораю. - Н., 1991. - 172 с.
8. Надежность и эффективность в технике. Справочник под ред. В. Ф. Уткина.. - М.: Машиностроение, 1988. - Том 3. - С.167-179.
9. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. Под ред. Травкина С. И..- М.: Радио и связь, 1982.
   

Научно-исследовательский отдел

Военный университет ВПВО ВС РФ

Поступила в редакцию 3.07.99.