УДК 519.68 (075.8)
СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ МАМДАНИ И СУГЭНО В ЗАДАЧЕ
АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ
© 2001 г. В. В. Круглов
В статье на примере задачи
аппроксимации функции проведено сравнение двух
наиболее распространенных алгоритмов нечеткого
вывода - Мамдани (Mamdani) и Сугэно (Sugeno).Установлено
определенное преимущество алгоритма Сугэно - в
плане точности и простоты реализации. Показано
функциональное сходство данного алгоритма с
обобщенно-регрессионной искусственной
нейронной сетью (GRNN).
Среди других алгоритмов нечеткого вывода, пожалуй, наиболее известными и популярными являются алгоритмы Мамдани (Mamdani) и Сугэно (Sugeno). Рассмотрим данные алгоритмы применительно к задаче аппроксимации непрерывной функции одной переменной.
Алгоритм Мамдани. Отметим вначале,
что используемый в различного рода экспертных и
управляющих системах механизм нечетких выводов
в своей основе имеет базу знаний, формируемую
специалистами предметной области в виде
совокупности нечетких предикатных правил вида:
П1: если x есть A1, тогда z есть B1,
П2: если x есть A2, тогда z есть B2,
. . . . . . . . . .
Пn: если x есть An,
тогда z есть Bn,
где x - входная переменная (имя для
известных значений данных), z - переменная вывода
(имя для значения данных, которое будет
вычислено); Аi и Вi - нечеткие
множества, определенные соответственно на X и Z с
помощью функций принадлежности и
(z).
Пример подобного правила:
если x - низко, то z - высоко.
Механизм нечеткого вывода при аппроксимации функции z(x) можно представить в виде:
Предпосылка:
П1: если x есть A1, тогда z есть B1,
П2: если x есть A2, тогда z есть B2,
. . . . . . . . . .
Пn: если x есть An, тогда z есть Bn.
Факт: x есть A
---------------------------------------------
Следствие: z есть B
В рассматриваемой ситуации данный вывод в форме алгоритма Мамдани математически может быть описан следующим образом:
1. Введение нечеткости (fuzzification): для
заданного (четкого) значения аргумента x = x0
находятся степени истинности для предпосылок
каждого правила ai = (x0).
2. Нечеткий вывод по каждому правилу:
находятся "усеченные" функции
принадлежности для переменной вывода:
=
(ai,
).
3. Композиция: с использование операции
МАКСИМУМ (max) производится объединение найденных
усеченных функций, что приводит к получению
итогового нечеткого подмножества для переменной
вывода с функцией принадлежности
(z) =
=
[
].
4. Наконец, приведение к четкости
(defuzzification) - для нахождения z0 = F(x0) - обычно
проводится центроидным методом: четкое значение выходной переменной
определяется как центр тяжести для кривой , т.е.
,
где W - область определения .
Алгоритм Сугэно (0-го порядка).
Исходный набор правил представляется в виде
Пi: если x есть Ai,
тогда z есть zi, i = 1,2,…,n,
где zi = z(xi).
Алгоритм состоит всего из двух этапов. Первый этап идентичен первому этапу алгоритма Мамдани. На втором этапе находится (четкое) значение переменной вывода:
.
Возможность использования аппарата нечеткой логики для задач аппроксимации базируется на следующих результатах.
1. В 1992 г. Ванг (Wang) показал, что нечеткая система, использующая набор правил
Пi: если xi есть Ai и yi есть Bi, тогда zi есть Ci, i = 1,2,…,n
при
1) гауссовских функциях принадлежности
,
,
,
2) композиции в виде произведения
[Ai(x) and Bi(y)] = Ai(x)Bi(y),
3) импликации в форме (Larsen)
[Ai(x) and Bi(y)]®Ci(z)
=Ai(x)Bi(y)Ci(z),
4) центроидном методе приведения к
четкости
,
где ci - центры Ci(z), является
универсальным аппроксиматором, т.е. может
аппроксимировать любую непрерывную функцию на
компакте U с произвольной точностью (естественно,
при ).
Иначе говоря, Ванг доказал теорему:
для каждой вещественной непрерывной функции F(X),
заданной на компакте U и для произвольного e>0
существует нечеткая экспертная система,
формирующая выходную функцию (X) такую, что
,
где - символ
принятого расстояния между функциями.
2. В 1995 году Кастро (Castro) показал, что логический контроллер Мамдани при
1) симметричных треугольных функциях
принадлежности:
2) композиции с использованием операции
min:
[Ai(x) and Bi(y)] = min{Ai(x),Bi(y)},
3) импликации в форме Мамдани и
центроидного метода приведения к четкости
,
также является универсальным аппроксиматором.
Сравнение описанных алгоритмов выполнялось при следующих условиях:
· аппроксимации функции проводилась на отрезке [-1, 1];
· аппроксимируемая функция задавалась набором значений (xi, zi), i = 1,2,…,n, при этом точки zi располагались эквидестантно;
· функции принадлежности имели вид
функций Гаусса, т.е. (x) =j((x-xi)/a),
(z) = j((z-zi)/b),
где j(·) - функция
Гаусса, j(s/s) = exp(-s2/2s2), s -
параметр функции (соответственно, a или b).
· количество правил n задавалось a priori;
· значения параметров a и b варьировались для получения наилучшего качества аппроксимации при заданном n.
Реализация алгоритмов и соответствующие вычислительные эксперименты проводилась с помощью системы MathCAD 2000.
Некоторые результаты при n = 9, a = 0.1, b = 0.3
приведены в табл. 1 и 2.
Таблица 1. Результаты
аппроксимации для функции F(x) = x2
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
xi |
-1 |
-0.75 |
-0.5 |
-0.25 |
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1 |
zi |
1.000 |
0.563 |
0.250 |
0.063 |
0 |
0.063 |
0.25 |
0.563 |
1.000 |
Оценка по алгоритму Мамдани |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка по алгоритму Сугэно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2. Результаты
аппроксимации для функции F(x) = x3
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
xi |
-1 |
-0.75 |
-0.5 |
-0.25 |
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1 |
zi |
-1.000 |
-0.422 |
-0.125 |
-0.016 |
0 |
0.016 |
0.125 |
0.422 |
1.000 |
Оценка по алгоритму Мамдани |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка по алгоритму Сугэно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведенные и другие аналогичные результаты (полученные для большого числа вариантов) позволяют сделать выводы:
1) при прочих равных условиях и при оптимальных параметрах a и b погрешность аппроксимации с применением алгоритма Сугэно несколько меньше, чем с применением алгоритма Мамдани;
2) алгоритм Сугэно с вычислительной точки зрения реализуется значительно проще, чем алгоритм Мамдани, а время счета для него меньше, чем для алгоритма Мамдани в 50-100 раз;
3) общий вывод: если нет каких-либо особенных доводов в пользу алгоритма Мамдани, то лучше использовать не его, а алгоритм Сугэно.
Данные выводы, разумеется, носят предварительный характер и нуждаются в более корректном подтверждении (для функций многих переменных и т.п.).
В заключение приведем еще один результат, устанавливающий связь между алгоритмом Сугэно, так называемой обобщенно-регрессионной нейронной сетью (GRNN) и непараметрической оценкой регрессии Надарая-Ватсона [2].
Указанная сеть предназначена для
решения задач регрессии (аппроксимации), при этом
ее выход формируется как взвешенное среднее
выходов по всем обучающим наблюдениям:
, (1)
где Xk, yk - точки обучающей выборки (X - в общем случае векторный аргумент); j(·) - отмеченная функция Гаусса.
Поясним данную формулу и название сети.
Предположим, что элементы обучающей
выборки - случайные величины, с совместной
плотностью вероятности p2(X,y), при этом, как
известно, условное математическое ожидание M(y/X)
называется регрессией (обобщенной регрессией) и
определяется соотношением
, (2)
где - условная
плотность вероятности y по X,
- безусловная плотность вероятности
случайной величины X.
Примем в последнем выражении
аппроксимации:
,
,
где d(·) - обозначение дельта-функции Дирака.
Подстановка данных аппроксимаций в (2)
дает:
.
Изменение порядка выполнения операций
интегрирования и суммирования (здесь это
допустимо и корректно) и использование, далее,
свойств дельта-функции позволяет записать:
.
Аппроксимация теперь дельта-функции функцией Гаусса приводит к выше представленному выражению для выхода обобщенно-регрессионной нейронной сети; приведенный вывод собственно и поясняет ее название.
Но, если в формуле (1) принять обозначения zk = yk и ak = j((X - Xk)/s), то функционирование такой сети формально можно считать подобным функционированию системы, реализующей приведенный алгоритм Сугэно 0-го порядка (упрощенный алгоритм нечеткого вывода [1]), при этом величины ak в данном случае - степени "истинности" продукционных правил при заданных (гауссовых) функциях принадлежности j(·) и значении переменной входа, равной Xk.
Более того, выражение (1), описывающее, как установлено, выход сети GRNN и алгоритма нечеткого вывода Сугэно, полностью совпадает с непараметрической оценкой регрессии, известной как оценка Надарая-Ватсона, для которой доказана следующая теорема о сходимости [2].
Теорема. Оценка, определяемая
формулой (1), если j(·) -
функция Гаусса, при выполнении условий
N®Ґ, sN®0, N®0
где sN - параметр функции Гаусса, в данном случае зависящий от объема обучающей выборки, m - размерность вектора X,
сходится к F(X) с вероятностью 1.
Приведенный результат является
теоретическим обоснованием алгоритма Сугэно как
универсального аппроксиматора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Круглов В. В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. - М.: Радио и связь, 2000.
2. Катковник В. Я. Непараметрическая
идентификация и сглаживание данных: метод
локальной аппроксимации. - М.: Наука, 1985.
COMPARISON OF ALGORITHMS MAMDANI AND SUGENO IN A TASK
APPROXIMATIONS OF FUNCTION
V.V. Kruglov
In the article on the example of a task of approximation of function
conducted comparison of two the most wide-spread algorithms of fuzzy conclusion - Mamdani
and Sugeno. Installed the certain advantage of algorithm Sugeno - in the plan of accuracy
and simplicity of realization. The functional similarity of the given algorithm with
general regression artificial neural network (GRNN) is shown.
Кафедра Управления и информатики
Филиал Московского энергетического института
(Технического университета) в г.
Смоленске
Поступила в редакцию 26.01.2001.