Вхождение в практику вычислений нового класса практически значимых задач влечёт определённые перемены в техническом оснащении тех областей человеческой деятельности, в которых эти задачи существенны. В данной статье речь пойдёт об оптимизации взаимного расположения геометрических областей. Технологию компьютерного поиска практически приемлемых оптимальных решений такого рода задач к настоящему времени в целом можно считать определившейся [1 - 6]. Цель данной работы спрогнозировать теперь те изменения, которые, возможно, произойдут под влиянием этой компьютерной технологии в технической оснащенности отдельных отраслей медицины. Такой прогноз обещает благотворно сказаться на опережающем создании новой техники, которая предположительно будет запрашиваться в изменившихся условиях.

D S = dr Ъ + s dr.

Видим, что для всякой многоугольной области G_t , подвергаемой параллельным сдвигам dr, и любой области G' с кусочно-гладкой границей дG' площадь S их общей части является функцией непрерывно дифференцируемой с дифференциалом

(1)

определенным и непрерывным в любой точке r = (x, y), для которой множество дG'З дG_t конечно.

То же самое мы имеем и в более общем случае для любой пары областей G_t и G' с кусочно-гладкими границами дG_t и дG', пересекающимися по множеству дG'З дG_t меры нуль, при условии, что одна из областей ограничена. Здесь имеется ввиду мера, определенная на какой-либо из этих границ, дG_t или дG'.

В группе параллельных сдвигов области G_t относительно неподвижной G' градиент С S указывает направление наискорейшего возрастания функции S. При неортогональных преобразованиях, разлагающихся в композицию двух преобразований, где обе области попеременно подвижны и неподвижны, роль подвижной области может передаваться также и G', а область G_t считать неподвижной. В этом последнем случае, применительно к группе параллельных сдвигов dr области G' относительно неподвижной G_t градиент площади S будет иметь противоположное значение -С S по отношению к ранее рассмотренному градиенту С S.

Поскольку для рассматриваемых областей G_t и G' градиент всегда определен и непрерывен, то к примеру, для практической максимизации функции S в группе параллельных сдвигов ничто не мешает воспользоваться градиентным методом r_n+1 = r_n+h_nС S_n пошаговой оптимизации. Здесь r_n = (x_rn, y_rn) и r_n+1 – вектора, определяющие положения какой-либо точки и вместе с ней всей области G_t соответственно к началу и концу n-ой итерации, n – порядковый номер итерации, h_n – положительный коэффициент, регулирующий величину n-ого шага. Для областей G_t и G' с кусочно-гладкими границами дG_t и дG', пересекающимися исключительно по множеству дG'З дG_t меры нуль, в точках r_n последовательных приближений к точке максимума функции S шаг h_nС S_n итераций при n ® Ґ автоматически сокращается до нуля за счёт градиента С S_n, поэтому итеративный процесс r_n+1 = r_n+h_nС S_n стабилизируется и в том случае, когда на место коэффициентов h_n подбирается одна подходящая константа, общая для всех значений n.

Меж тем формулу (1) для вычислении градиента С S желательно упростить. Пусть, к примеру, упомянутая выше точка совпадает с A_i+1(x_i+1, y_i+1), стороны A_i+1A_i+2, A_i+2A_i+3, …, A_t-1A_t целиком лежат в области G', и наконец, C_t є  A_t для стороны A_tA_t+1. При этом точка может и не совпадать с A_t+1. Тогда в сумму первой составляющей градиента (1) войдут слагаемые

,

.

Отсюда видно, что при вычислении градиента С S важны лишь точки P_l(x_pl, y_pl) входа границы дG_t во внутреннюю часть intG' области G' и точки Q_i(x_ql, y_ql) выхода границы дG_t из intG'. Выраженный через координаты этих точек, градиент площади S в случае подвижной области G_t и неподвижной G' принимает следующий вид . Аналогичное положение мы встречаем при рассмотрении группы поворотов области G_t вокруг некоторой точки C(x_c, y_c). Производная функции S по углу поворота t также может быть выражена через точки P_i и Q_i.

.

4. Пространство оптимизируемых состояний. Две частные производные градиента С S соответственно по x и y в группе параллельных сдвигов области G_t и взятую в качестве третьей компоненты производную по углу поворота t рассматриваем как градиент g в группе движений первого рода. Эта объединенная группа всех параллельных сдвигов и поворотов представляет собой трехпараметрическое пространство реперов r = (x, y, t). Отныне точка r мыслится с тремя координатами. Первые две координаты определяют положение некоторой выделенной точки, жестко связанной с подвижной областью G_t, а третья координата t определяет угол поворота этой области относительно некоторого фиксированного луча l, жестко связанного с областью G'. По опыту составления компьютерных программ градиентный метод r_n+1 = r_n + h_ng_n в пространстве реперов r оказался эффективнейшим средством поиска оптимальных перекрытий в группе движений. В то же время метод оптимизации, изложенный выше для областей, преобразуемых ортогонально, вовсе не ограничен только такими преобразованиями. Он успешно работает и вне рамок ортогональных преобразований [3 – 6], когда перекрывающиеся области G_t из G' подвергаются более общим дифференцируемым отображениям.

5. Непрерывная оптимизация перекрытия подвижной области. Эффективность описанного выше оптимизационного процесса, его достаточно высокая скорость, позволяет включать его в общий цикл с обратной связью. Это особенно важно, когда область G' меняет свое положение и, возможно, форму. С каждой новой итерацией r_n+1 = r_n + h_ng_n градиент g_n может вычисляться для нового положения области G' и контурного образа её границы дG'. При этом нет жесткой необходимости воспроизводить всю границу дG' целиком, достаточно лишь её частичное воспроизведение в виде какого-то числа направленных отрезков B_kB_k+1, определяющих тем не менее центральную часть области G'. Оптимизация перекрытия областей G_t и G', организованная по такой схеме, создает эффект непрерывной оптимизации, включая в себя также и непрерывное слежение за перемещающимся и, возможно, меняющим свою форму объектом G'. Оптимизация положения области G_t , ассоциируемой с лучевым пятном лечебного действия, относительно контурного образа G' ткани, подлежащей облучению, позволяет избежать опасной установки и последующего отклонения лучевого пятна G_t от области G' в ходе терапевтического сеанса. Сеансы облучения можно распространить теперь и на подвижную ткань. Кроме того, описанная схема слежения может использоваться не только в лучевой терапии, но и при совершении иных действий, возможно, хирургических, на подвижных органах без их отключения.

6. Моделирование проводки инструмента по сосудистому руслу. Идея щадящей хирургии в том, чтобы при выполнении необходимых хирургических вмешательств меньше повреждать здоровую ткань пациента. С этой целью, например, в сосудистой хирургии используется миниатюрный инструмент, доставляемый к оперируемому участку по сосудам пациента. Надо сказать, что при всех достижениях миниатюризации инструмент всегда имеет конечные размеры. Поэтому в критических случаях при подготовке оперативного вмешательства важно определить, возможна ли проводка выбранного инструмента по сосудам конкретного пациента. Рентгеновскими, а в целом, комплексными средствами получают контурное изображение интересующего нас участка сосудистой системы пациента. Перенесенные на экран компьютера изображения стенок сосудов позволяют воссоздать ориентированную область G', отображающую сосудистое русло. Не составит труда перенести на экран компьютера также изображение выпуклой оболочки инструмента (область G_t), выбранного для совершения операции. Использование узкого гибкого инструмента – особая часть исследования. Здесь мы рассматриваем случай, когда области G_t отвечает негибкий инструмент, либо его негибкая часть. Ввиду неизбежности технических допусков, имеет смысл уменьшить изображение области G' в соответствующем масштабе 1:(1+e ). После чего моделирование положений инструмента и процесса его доставки по намеченному для этого сосудистому руслу (область G' ) может осуществляться в следующем порядке. Область G_t мягко принуждается к дрейфу вдоль намеченного пути по сосудистому руслу (область G' ). Для этого круг, достаточно малого диаметра d или иная область F заведомо простой формы, к примеру, прямоугольник шириной d, используется подобно тому, что рыболовы называют наживкой. Малыми сдвигами область F перемещается вдоль намеченного пути по срединной линии сосудистого русла. После каждого сдвига области F осуществляется обновление её границ и максимизация общей части области G_t и сосудистого русла G', при этом последней приписывается кратность n, порядка 10 или выше, в то время как для областей G_t и F сохраняется обычная кратность, равная 1. В каждом отдельном положении области F в области G' сосудистого русла, эта последняя рассматриваются как структурированная область G_F , в которой F – всего лишь участок с кратностью на единицу выше, чем в остальной части области G'. Поэтому градиентная максимизация общей части структурированной области G_F и подвижной области G_t осуществляется прежде всего удержанием области G_t в русле G' и лишь во вторых за счёт перекрытия областью G_t участка F. Когда при очередном малом сдвиге F область G_t уже не продвигается следом за областью F и отрывается от неё, тогда область G_t находится именно в том месте сосудистого русла G', где прохождение инструмента затруднено. Предположим, что a  > 0 – нижняя граница абсолютной величины тангенса угла, между противоположными стенками сосудистого пути в направлении движения в местах, где они сужаются. Когда область G' многоугольная, такая нижняя строго положительная граница a непременно существует. Чтобы предложенная здесь схема, распознающая в сосудистом русле G' места непроходимости для выбранного инструмента, срабатывала корректно в рамках технического допуска e диаметр d необходимо подчинить неравенству при условии, конечно, что инструмент перемещается вдоль сосудистого пути в продольном положении. Здесь s – нижняя граница ширины сосудистого русла в пределах пути перемещения инструмента.

Тривиальные случаи с очевидными участками непроходимости сосудистого русла G', не нуждаются в проверке моделированием. В случае же нетривиальном область G_t бу льшей частью свободно перемещается по области G' сосудистого русла и овражистый характер оптимизируемой функции осложняет процесс моделирования лишь в местах существенного сужения области G'. Преодоление овражистого характера оптимизируемой функции, как в этом, так и в общем случае требует специального исследования с использованием критериев второго порядка и испытаниями посредством компьютерных программ. Такого рода исследование выносится за рамки данной работы.