УДК 519.21:621.396.969.1

Проанализированные в [1] показатели качества оценки углового рассогласования (), получаемые на выходе обзорной амплитудной моноимпульсной системы, математическая модель которой представлена на рис. 1, не в полной мере отражают качество указанной оценки. Наиболее полной характеристикой обладает апостериорная плотность вероятности оцениваемого параметра, нахождению которой и посвящена статья.

Рис. 1. Структурная схема математической модели обзорной МИ–системы

Оценка модуля | | формируется делением значения огибающей сигнала в разностном канале на значение огибающей в суммарном канале приемного тракта.

Известно [2], что распределение вероятности огибающей смеси радиосигнала и квазигармонического узкополосного случайного процесса (шума) на выходе оптимального фильтра подчиняется райсовскому закону, а выражение ее плотности, записанное для безразмерных величин и (где  – значение огибающей смеси сигнала и шума, – нормированное шумом значение амплитуды сигнала, характеризующее отношение сигнал/шум по напряжению, – амплитуда эхосигнала, а – СКО шума), имеет вид

(1)

где – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Используя известные асимптотические представления функций Бесселя мнимого аргумента [3]:

выражение (1) можно свести к следующим выражениям:

(2)

(3)

Если , то вероятные значения будут сгруппированы около параметра , т. е. с некоторым приближением можно считать . В этом случае плотность вероятности огибающей будет близка к нормальному закону распределения.

Выясним, от чего зависит отношение сигнал/шум в суммарном и разностном каналах приемного тракта. Нормированная шумом амплитуда сигнала в каждом из каналов приемного тракта обзорной моноимпульсной РЛС описывается следующими выражениями:

, (4)

где – коэффициенты, учитывающие уровень диаграммы направленности антенны (ДНА) в каналах;

Рис. 2. ДНА амплитудной моноимпульсной системы

Из выражений (4) следует, что отношение сигнал/шум в каждом из каналов зависит от интенсивности эхосигнала, уровня ДНА и дисперсии шума в канале обработки. На рис. 2 показаны зависимости уровня ДНА от углового положения цели для обоих каналов.

Из анализа выражений (4) и графиков (рис. 2) следует, что при одних и тех же интенсивностях эхосигналов и дисперсиях шумов в каналах обработки отношение сигнал/шум будет разным.

Таким образом, в зависимости от величины углового рассогласования и уровня помех возможны три случая отношения сигнал/шум в каналах приемного тракта: малое отношение как в суммарном, так и разностном; большое отношение в суммарном и малое – в разностном; большое отношение как в суммарном, так и в разностном.

Найдем закон распределения для каждого из трех вариантов, пользуясь известным выражением функции распределения отношения двух случайных величин [4]:

(5)

Учитывая, что область определения значений огибающей радиосигнала соответствует области неотрицательных чисел, выражение (5) можно переписать в виде

. (6)

Дифференцируя выражение (6) по , найдем плотность распределения вероятности :

(7)

Поскольку суммарный и разностный каналы приемного тракта не имеют общих элементов, то случайные процессы, протекающие в них, можно считать независимыми. Тогда выражение (7) примет вид

(8)

Для первого случая плотности вероятности огибающих радиосигнала в суммарном и разностном каналах приемного тракта описываются выражением (2). Тогда плотность вероятности на основании выражения (8) и после проведения несложных преобразований равна

(9)

Для второго случая, когда плотность вероятности огибающей радиосигнала в суммарном канале описывается формулой (2), а в разностном – формулой (3), выражение для плотности вероятности имеет вид

(10)

где

Для третьего случая, когда плотности вероятности огибающих радиосигнала как в суммарном, так и в разностном каналах приемного тракта описываются формулой (3), выражение для плотности вероятности можно записать в виде

(11)

Рис. 3. Плотность распределения вероятности для первого случая

Рис. 4. Плотность распределения вероятности для второго случая

Рис. 5. Плотность распределения вероятности для третьего случая

Графики (рис. 3–5), построенные по выражениям (9–11), дают наглядное представление о законах распределения модуля оценки углового рассогласования, формируемой измерителем, для различных случаев отношения сигнал/шум в каналах тракта обработки. В первых двух случаях (см. рис. 3, 4) графическое изображение закона распределения модуля оценки углового рассогласования напоминает изображение эрланговского закона первого порядка. В третьем случае (см. рис. 5) график при достаточно высоких (более 100) отношениях сигнал/шум напоминает кривую плотности распределения нормального закона.

Знак формируется на основании оценок начальных фаз огибающих сигналов в суммарном и разностном каналах приемного тракта

(12)

где ; ; – оценки амплитуд и начальных фаз сигналов в суммарном и разностном каналах приемного тракта;  – угловое рассогласование линии визирования цели (ЛВЦ) и равносигнального направления (РСН).

Выражение, описывающее плотность вероятности начальной фазы огибающей смеси радиосигнала и узкополосного шума, известно [2] и имеет вид

при

где ;

– несущая частота узкополосного квазигармонического шума в приемном тракте;

– начальная фаза полезного сигнала в приемном тракте;

– интеграл вероятности.

Для упрощения математических преобразований и с учетом узкополосности квазигармонического шума предположим равенство несущих частот сигнала и шума . В нашем случае начальная фаза сигнала в соответствующем канале приемного тракта представляет собой сумму начальной фазы эхосигнала и значения фазовой ДНА МИ–антенны.

Тогда выражения для плотностей распределения начальных фаз огибающих смеси сигнала и белого шума в соответствующем канале приемного тракта имеют вид

где ; .

Предположим, что , тогда .

Для малых и больших отношений сигнал/шум выражения, описывающие и , упрощаются [2]. При , формулы, описывающие и , имеют вид

; (13)

. (14)

При , формулы, выражающие и , принимают вид

; (15)

. (16)

Найдем плотности вероятностей разности случайных фаз для разных отношений сигнал/шум в каналах приемного тракта. Случайные величины , , как и в случае с амплитудами, будем считать независимыми. Воспользуемся известным выражением для плотности вероятности разности двух независимых случайных величин [5]:

. (17)

Для первого случая отношения сигнал/шум в каналах приемного тракта плотность распределения вероятности разности начальных фаз огибающих сигналов в суммарном и разностном каналах описывается выражением, полученным с учетом формул (13), (14), (17):

. (18)

Для второго случая плотность вероятности разности начальных фаз огибающих сигналов в суммарном и разностном каналах описывается выражением, полученным с учетом формул (14), (16), (17):

. (19)

Для третьего случая плотность распределения вероятности разности начальных фаз огибающих сигналов в суммарном и разностном каналах описывается выражением, полученным с учетом формул (15), (16), (17):

. (20)

Согласно формуле (12), знак углового рассогласования зависит от косинуса разности фаз, поэтому для нахождения плотности вероятности знака перейдем в выражениях (18–20) от разности огибающих к их косинусу. Для этого воспользуемся известным выражением для плотности вероятности функции одного случайного аргумента [6]:

где – функция, обратная исходной функции случайного аргумента.

В нашем случае обратная функция случайного аргумента (введем обозначение ) имеет вид

(21)

Функция (21) при является двухзначной, т. е. имеет две ветви: и , поэтому для нахождения плотности распределения вероятности знака необходимо воспользоваться следующей формулой:

. (22)

Производная функции (21) равна

.

Для первого случая отношения сигнал/шум в каналах приемного тракта плотность распределения вероятности знака углового рассогласования получена с учетом формул (18) и (22):

. (23)

Для второго случая плотность вероятности знака углового рассогласования получена с учетом формул (19) и (22)

. (24)

Для третьего случая плотность вероятности знака углового рассогласования получена с учетом формул (20) и (22)

(25)

Графики, построенные по выражениям (23–25), показаны соответственно на рис. 6–8 (для истинного значения ). При нулевом отношении сигнал/шум в разностном канале приемного тракта этот закон, согласно выражениям (18, 19), трансформируется в закон равномерной плотности. А из анализа выражения (20) следует, что в третьем случае распределение разности фаз является нормальным.

Из анализа графиков (рис. 6, 7) следует, что в первых двух случаях имеет место большая вероятность появления ошибочных решений (положительного знака углового рассогласования). При близком к нулевому отношению сигнал/шум эта вероятность равна 0,5. А из графиков (рис. 8) следует, что эта вероятность достаточно мала и при отношениях сигнал/шум в двух каналах приемного тракта, больших пяти, можно говорить о безошибочном нахождении знака углового рассогласования анализируемым измерителем.

Графики зависимостей плотности вероятностей знака для 1-го случая

Графики зависимостей плотности вероятностей знака для 2-го случая

Графики зависимостей плотности вероятностей знака для 3-го случая

Анализ выражений для плотностей вероятностей модуля и знака углового рассогласования доказывает, что данные плотности вероятностей нормализируются только при очень больших отношениях сигнал/шум как в суммарном, так и в разностном каналах приемного тракта. Таким образом, применение амплитудного моноимпульсного метода измерения угловых координат цели с суммарно–разностной обработкой сигналов в обзорной РЛС требует специальных мер для увеличения отношения сигнал/шум, в частности, можно использовать результаты накопления пачки эхосигналов, получаемой после обзора пространства.

Литература

1. Авласёнок А. В., Вашкевич C. А. Статистический анализ точности обзорной амплитудной суммарно–разностной моноимпульсных рлс // Радиоэлектроника. – 2001. – № 11. – С. 26–33.
2. Тихонов В. И., Бокаев Ю. Н. Статистическая теория радиотехнических устройств. – М.: ВВИА, 1978. – 420 с.
3. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480 с.
5. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи /Под ред. В. И. Тихонова. – М.: Сов. радио, 1980. – 544 с.
6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

FINDING of DENSITY of PROBABILITY of an ESTIMATION ANGULAR MISALIGNMENTS FOR OVERVIEW AMPLITUDE TOTAL – INCREMENTAL MONOPULSE SYSTEM

S. A. Vashkevich

As a result of statistical test overview amplitude total–incremental monopulse system are received analytical expressions, describing density of probability of the evaluation a modula and sign of the angular unbalance between interchangeably signal by the direction and direction on the object for three distinctive events a relations a signal–noise in receiving channels of the system: small relations in total and incremental; the greater – in total, small – in incremental; the greater – in total and incremental. Carry out a test has allowed to reveal a main defect of the given meter.

Кафедра радиоэлектроники

Военный университет войсковой ПВО ВС РФ

Поступила в редакцию 19.04.2003.