Математическая морфология.
Электронный математический и
медико-биологический журнал. - Т. 10. -
Вып. 2. - 2011. - URL:
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-30-html/TITL-30.htm
http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-30-html/cont.htm
УДК 517.927
СИНГУЛЯРНАЯ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА НИКОЛЕТТИ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ó 2011 г. Исраилов С. В.
В новом классе сингулярных систем дифференциальных уравнений сформулированы
и доказаны теоремы существования кусочно-непрерывных решений краевой задачи
типа Николетти.
Ключевые слова: сильносингулярные уравнения,
кусочно-непрерывные решения, задачи типа Николетти, существование решений.
1.
Будем изучать
систему дифференциальных уравнений в квазилинейной форме
(1)
относительно
точек области 
известные числа. Предполагается, что функции 
непрерывны по
совокупности аргументов в области 
, где 
а при 
имеют сингулярности в
смысле работ 
Для таких систем
подробно изучены вопросы существования, единственности и неединственности
непрерывных решений 
дифференцируемых на интервалах 
и удовлетворяющих
условиям задачи Николетти 
(2)
где 
- данные числа из области 
Характерной особенностью точки
сингулярности 
для функций 
в цитируемых работах
является ограниченность сверху или снизу функции 
интегрируемыми (суммируемыми) или неинтегрируемыми (несуммируемыми) функциями на интервалах 
и существование
функций 
, непрерывных на 
и дифференцируемых на
,
удовлетворяющих
условиям 
, и таких, что 
функции
(3)
в области 
ограничены по модулю
интегрируемыми (суммируемыми) функциями на 
т.е.
(4)
где 
при 
и
(5)
Такой класс сингулярных
дифференциальных уравнений удобно назвать слабосингулярными, имея ввиду
существование другого класса сингулярных дифференциальных уравнений 
, обладающих только
решениями с разрывами первого рода в
точках сингулярностей.
Например,
система
имеет
единственное решение
удовлетворяющее условиям
В соответствии с этим в новом классе
сингулярных дифференциальных уравнений условия задачи Николетти (2), естественно?
распадаются на краевые условия вида
(6)
где 
- известные числа, причем 
Задачу (1), (6) в дальнейшем будем
называть краевой задачей типа Николетти. Вектор-функция 
считается решением этой задачи, если она непрерывна на интервалах
, ее 
-ая компонента 
непрерывно дифференцируема на интервалах 
функции 
удовлетворяют системе
(1) на множестве 
и условиям (6). Особой
чертой сильносингулярной системы (1) является выполнимость неравенств (4),
когда присутствующие в них функции 
, непрерывны на 
имеют интегрируемые производные 
на этих же интервалах
и удовлетворяют условиям
(7)
Если в приведенном выше примере положить
в любой области 
будут выполняться
условия вида (4) с интегрируемыми на 
функциями 
Здесь функции 
таковы, что
выполняются равенства
2.
Теперь сформулируем
теоремы о разрешимости поставленной задачи.
Т е о р е м а 1. Пусть в области 
выполнены неравенства
(4), (5),
(8)
где 
интегрируемые функции
в смысле Римана на 
и
(9)
(10)
Тогда задача (1), (6) имеет по крайней мере одно решение.
Т е о р е м а 2. Пусть в области 
выполнены неравенства
(4), (5),
(11)
где
, неинтегрируемые функции на 
такие, что для любого
(12)
, (13)
где 
некоторые произвольные постоянные.
Тогда задача (1), (6) имеет континуум решений.
Т е о р е м а 3. Пусть в области 
выполнены неравенства
(4), (5), (8) при 
(11) при 
и
(14)
где
(15)
Тогда задача (1), (6) имеет континуум решений.
Т е о р е м а 4. Пусть в области 
выполнены неравенства
(4), (5), (11) при 
(8) при 
и
(16)
где
(17)
Тогда задача (1), (6) имеет
континуум решений.
З
а м е ч а н и е. Присутствие в
теоремах 2-4 произвольных постоянных
, порождает переопределенность граничных условий. Возьмем точки
на сегменте 
, расположенные в порядке 
. Тогда в областях 
правые части системы (1) будут ограничены соответственно
некоторыми числами 
по модулям, т.е.
(18)
Запишем дополнительные
граничные условия
(19)
(20)
где 
- известные числа, причем 
.
Т е о р е м а 5. Пусть в области 
, выполнены неравенства
(21)
(22)
где 
(23)
и
(30)
(31)
Тогда переопределенная сингулярная краевая задача (1), (6)
(19), (20) имеет по крайней мере одно решение.
Т е о р е м а 6. Пусть в области 
выполнены условия (4), (5), (8) теоремы 1, а в области 
условия (21), (22)
теоремы 5 с соответствующими ограничениями на функции 
в (10), на функции 
, 
в (23) на соответствующих
интервалах изменения 
.
Тогда при выполнении
неравенств
(32)
(33)
переопределенная сингулярная
краевая задача (1), (6), (20) имеет по крайней мере одно решение.
Т е о р е м а 7. Пусть в области 
выполнены условия (4), (5), (8) теоремы 1, а в области 
условия (21), (22) с соответствующими ограничениями на функции 
в (10), на функции 
, 
в (23) на
соответствующих интервалах изменения 
.
Тогда
при выполнении неравенств
(34)
(35)
переопределенная сингулярная
краевая задача (1), (6), (19) имеет по крайней мере одно решение.
3.
Для доказательства
этих теорем строятся следующие системы интегральных уравнений:
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
где
(43)
4.
Покажем, как
строятся доказательства теорем. Для теоремы 1 соответствует система
интегральных уравнений (36), правые части которой определены в области 
. По условиям (4), (8) путем оценки их интегральных выражений
можно найти функции
(44)
удовлетворяющие
условиям 
Возьмем пространство 
кусочно-непрерывных
на сегменте 
вектор-функций 
с нормой 
и соответствующей
метрикой
для
любых вектор-функций 
из 
. Расстояние 
удовлетворяет всем аксиомам метрики и сходимость в 
есть равномерная
сходимость почти всюду 
. Нетрудно проверить, что пространство 
полно в смысле
сходимости по норме, т.е. являются банаховым. Обозначим через 
множество функций 
, непрерывных на 
и имеющих точку разрыва первого рода только при 
. Ясно, что 
. Возьмем множество 
таких вектор-функций 
из 
, что
, (45)
и
для любого 
существует такое
число 
, что при 
выполняются
неравенства
. (46)
Из (44) следует, что
(47)
Поэтому для любого 
можно указать такое 
, что
.
(47*)
Положим
и 
. Так как 
то 
одновременно
попадают либо в интервалы 
, либо в сегменты 
. Если 
, то в силу (45), (47*) и (7) для 
имеем
(48)
Если 
, то из-за (46) получим
(49)
Таким образом
(50)
Разобьем отрезок 
точками деления 
на части так, чтобы
выполнилось неравенство 
, и зафиксируем эти точки деления. Возьмем любую
вектор-функцию 
и поставим ей в
соответствии ступенчатую вектор-функцию 
определенную
следующим образом:
(51)
Из-за
неравенств (50) внутри каждого открытого интервала 
, колебание функции 
меньше 
, поэтому 
Следовательно, множество
, составленное из всех функций 
, соответствующих 
вектор-функции 
из пространства 
, образует 
-сеть для 
х компонент вектор-функций из 
Рассмотрим теперь множество 
ступенчатых функций 
. Каждая ступенчатая функция 
однозначно определяется
числами – своими
значениями в фиксированных точках 
. Принимая эти числа за координаты точек из 
мерного евклидова пространства 
, установим взаимнооднозначное соответствие между множеством 
и некоторым
множеством 
. Множество 
ограничено, так как
для любой точки 
(52)
если учесть 
Так как 
ограниченное множество 
мерного евклидова пространства,
то 
компактно. Но тогда
компактно и 
в смысле равномерной
сходимости на 
, так как, если 
и 
- функции, соответствующие 
, то
(55)
Поэтому
сходимость последовательности 
влечет за собой равномерную сходимость соответствующей
последовательности 
и компактность множества
доказана.
Если вместо 
и 
взять соответственно 
, то все вышеприведенные рассуждения справедливы для всех
значений 
и прямое топологическое произведение 
и компактно, причем является
окрестностью для 
. Поэтому 
также компактно в 
, так как функции 
из-за (9), (44), (45) равномерно ограничены:
(56)
Покажем, что множество 
замкнуто и выпукло. Пусть
и 
. Тогда из (45),
(44), (9)
(57)
Т.е. 
выпукло. Пусть последовательность 
сходится к 
равномерно при 
. В силу тех же условий имеем
для достаточно
большого 
и произвольного 
. Отсюда 
и множество 
замкнуто, еще из (58) следует 
.
Рассмотрим теперь нелинейный
интегральный оператор 
, где 
,
, (59)
из
правых частей (36). В силу неравенств 
, (см. (44), (56)) оператор А определен на 
. Покажем, что А
. Из условий (4), (8)-(10) получаем (см.(44))
. (60)
Возьмем достаточно малое
число 
и пусть 
. Тогда по (59) можно составить разность
(61)
откуда (см.(4), (7), (8))
(62)
Далее,
где
(64)
Поэтому из (62) имеем оценки
(65)
где
(66)
Положим
(67)
и запишем (65) в виде
. (68)
Точно так же при 
получим из (59)
, (69)
где
(70)
Таким образом, из (68), (69) окончательно получим
(71)
Итак, оператор А
преобразует 
в себя.
Остается доказать непрерывность
оператора на 
. Пусть последовательность 
равномерно сходится к вектор-функции 
Пусть 
достаточно малое число. По (59) составим разность для 
и оценим их с помощью
условий (4), (8)-(10)
(72)
Ясно, что число 
в (72) можно
подобрать так, чтобы для любого данного числа 
выполнялось бы
неравенство
. (73)
Пусть теперь 
. Из-за отсутствия точек сингулярностей на этих отрезках для
достаточно больших 
осуществляются неравенства:
при 
, (74)
при 
. (75)
Это
объясняется возможностью предельного перехода под знаком интегралов в (74),
(75) в силу ограничений на 
в условиях теоремы 1. С учетом (73) – (75) для 
можно записать
(76)
т.е.
оператор А непрерывен на 
. Следовательно, непрерывный оператор А преобразует компактное, замкнутое, выпуклое множество 
в себя и в силу
принципа Шаудера 
имеет в 
неподвижную точку,
что равносильно существованию решения системы интегральных уравнений (36). Ее решения дифференцируемы при 
, что можно показать непосредственным вычислением производных
(составляется конечноразностное отношение, применяется теорема о среднем и
осуществляется переход к пределу). По методу получения системы (36) каждое ее
решение 
является и решением сингулярной системы (1) и из выполнения
неравенств 
(см. (7), (45))
следует и выполнение граничных условий 
. Теорема 1 доказана. Аналогично доказываются и теоремы 2-7 с
использованием соответствующих систем интегральных уравнений (37)-(42).
Литература
1.
Чечик В.А. Исследование
систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью //Тр. Московского матем.общества, 1959.
Т.8., С.155-198.
2.
Исраилов С.В. О
сингулярной многоточечной краевой задаче //Уч.записки Азерб. Гос.ун-та. Серия
физ-мат.науки. 1963, №3. С.63-71.
3. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи
для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: изд. Тбилисского ун-та,
1975. С.
352.
4.
Nicoletti O. Sulle condizioni iniziali
che determiniano gle integrali della
differenziali ordinazie. – Atti della R. Acc. Sc. Torino. 1897, 1898. 748-759.
5.
Исраилов С.В., Ющаев
С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Нальчик, Издательский центр «Эль-фа», 2004. С.445.
6.
Исраилов С.В. Система
дифференциальных уравнений с многоточечной сингулярностью и разрывными
решениями. Дифференциальных уравнений и их приложения. Межвузовский сборник
научных трудов. Изд-во Саратовского университета, 1993, С.42-51.
7.
Исраилов С.В., Сагитов
А.А. Решение сингулярных ОДУ 
го порядка с кусочно-непрерывными производными 
-го порядка //Функционально-дифференциальные уравнения и их
приложения. Материалы 4-й Международной
конференции, 21-24 сентября 2009г., Махачкала. С.128-130.
8.
Исраилов С.В., Сагитов
А.А. Об одном классе сингулярных дифференциальных уравнений //Материалы
Всероссийской научно-технической конференции. Воронеж, 2-7 февраля 2009.
С.92-93.
9.
Очан Ю.С. Исследование
одного функционального пространства //Функциональный анализ и его применение.
Труды V Всесоюзной конференции
по функциональному анализу и его применению. Из-во АН. Аз.ССР, Баку, 1961.
С.215-219.
10. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс
функционального анализа. М. 1981.
singuljarnyh THE
REGIONAL PROBLEM OF TYPE NIKOLETTI WITH KUSOCHNO-CONTINUOUS DECISIONS FOR
SYSTEM OF THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Israilov S. V.
In new class of singular differential system. Existence theorems of piecewice continuous solutions of boundary
problem Nicolletti are proved.
Key words: strong singular equations, piecewice continuous, Nicolletti problem,
existence of solutions
Чеченский государственный
университет (ЧГУ)
Поступила в редакцию 21.02.2011