Математическая морфология.

Электронный математический и медико-биологический журнал. - Т. 13. -

Вып. 4. - 2014. - URL:

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/TITL.HTM

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-44-html/TITL-44.htm

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-44-html/cont.htm

УДК 37.0:004

ББК 74.580.255

Учёт личностных особенностей учащихся средствами графового моделирования

Ó 2014 г. Бояринов Д. А.

(boyarinov.doc)

В статье рассматривается метод отражения на графовых моделях индивидуальных особенностей учащихся, приводится интерпретация инварианта «вектор надёжности графа».

Ключевые слова: граф, графовая модель, вектор надёжности графа.

Реализация модели личностно ориентированного обучения в рамках информационного образовательного пространства личностного развития учащихся предполагает выработку механизма учёта личностных особенностей субъектов этого пространства средствами определённого языка формального моделирования. Мы в качестве такого средства формального моделирования используем аппарат теории графов [2]. Соответственно необходимо выработать графовые модели, позволяющие соотносить индивидуальные особенности и запросы учащихся с целями обучения, содержанием и структурой учебного материала и корректировать ход учебного процесса (в частности, оптимальным образом подбирать учебный материал).

С целью учёта и отражения на модели индивидуальных особенностей и образовательных запросов учащихся мы предлагаем адаптировать графовую модель учебного материала по данной теме применительно к конкретному обучающемуся. Для этого дугам графа приписываются веса, характеризующие степень усвоения данного материала (в общем случае степень усвоения – число из отрезка [0; 1], где 0 соответствует полному отсутствию знакомства с материалом, 1 – соответствует полному усвоению). Такую графовую модель можно обозначить ГИ (Графовая модель Индивидуализированная) [2]. В рамках предложенного подхода вес пути в графе является мультипликативной функцией (вес пути равен произведению весов входящих в него дуг). Пример такого графа, заданного матрицей весов, приведён таблице 1 (так как граф является ориентированным, то матрица не будет симметричной относительно главной диагонали).

Таблица 1

Матрица весов графа, относящегося к модели типа ГИ

∞	0,9	0,7	∞	∞	∞	∞
∞	∞	∞	0,9	∞	∞	∞
∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
∞	∞	∞	∞	0,7	∞	∞
∞	∞	∞	∞	∞	0,8	∞
∞	∞	∞	∞	∞	∞	0,7
∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞

На построенной таким образом графовой модели интерпретируем объект, известный в теории графов как «вектор надежности графа» [3].

Пусть G = <V, E> – граф со взвешенными дугами. Для каждой вершины vV (i=1, 2, … P(G)) определим два числа: Н(v) – надежность передачи сообщения из вершины v до самой «отдаленной» вершины графа и Н(v) – надежность приема сообщения в вершине v из самой «отдаленной» вершины.

Числа Н(v) и Н(v) называются соответственно надежностью передачи и приема в вершине v. Заметим, что для любой вершины неориентированного графа эти числа совпадают.

Вектором надежности графа Г называется вектор, состоящий из кортежей (Н(v), Н(v)) [3].

Вектор надежности указывает на степень усвоения учащимся взаимосвязей между различными парами элементов знания, и, соответственно, на вероятность («надежность») успешного решения задачи, связывающей любые два данных элемента знания. Если обязательные результаты обучения описать с помощью какой-либо конкретной числовой константы (например, вероятность – «надежность» – решения задачи, связывающей любые два элемента знания по данной теме, должна быть не меньше 0,25), то вектор надежности позволит определить, достиг ли учащийся заданных результатов обучения. Если уровень развития знаний, умений и навыков учащегося не отвечает поставленному требованию, то вектор надёжности позволяет определить элементы знания, в силу недостаточно хорошего владения связью между которыми получен неудовлетворительный результат.

Рассмотрим графовую модель знаний учащегося, приведённую в таблице 1 (при рассмотрении графовых моделей задач и систем задач можно пренебречь ориентацией дуг, унаследованной от графовой модели теоретического материала, соответственно граф, заданный матрицей весов в таблице 1 будем рассматривать как неориентированный граф). Матрица весов неориентированного графа, полученного после отмены ориентации дуг (симметричная относительно главной диагонали) приведена в таблице 2.

Таблица 2

Матрица весов графа, относящегося к модели типа ГИ,

после отмены ориентации дуг

∞	0,9	0,7	∞	∞	∞	∞
0,9	∞	∞	0,9	∞	∞	∞
0,7	∞	∞	∞	∞	∞	∞
∞	0,9	∞	∞	0,7	∞	∞
∞	∞	∞	0,7	∞	0,8	∞
∞	∞	∞	∞	0,8	∞	0,7
∞	∞	∞	∞	∞	0,7	∞

Матрица надежности этого графа приведена в таблице 3.

Таблица 3

Матрица надежности графа

1	2	3	4	5	6	7
1	0,9	0,7	0,81	0,57	0,45	0,32
0,9	1	0,63	0,9	0,63	0,5	0,35
0,7	0,63	1	0,58	0,4	0,32	0,22
0,81	0,9	0,58	1	0,7	0,56	0,39
0,57	0,63	0,4	0,7	1	0,8	0,56
0,45	0,5	0,32	0,56	0,8	1	0,7
0,32	0,35	0,22	0,39	0,56	0,7	1

Так как граф неориентированный и, как отмечалось выше, для любой его вершины vV (i=1, 2, … P(G)) числа Н(v) и Н(v) совпадают, то вид вектора надёжности можно упростить. Вектор надежности этого графа (см. таблицу 1) будет иметь вид (0,32, 0,35, 0,22, 0,39, 0,4, 0,32, 0,22).

Исходя из приведённого выше подхода к формулировке результатов обучения (вероятность решения задачи, связывающей любые два элемента знания, должна быть не меньше 0,25), можно заметить, что данный учащийся не достиг таких результатов применительно к элементам знания 3 (т.к. 0,22<0,25) и 7 (т.к. 0,22<0,25). Анализ матрицы надежности показывает, что недостаточный результат по элементу знания 3 получен в силу плохой отработки связей между элементами знания в парах (4, 5) и (6, 7). Значит, для того чтобы учащийся смог решить любую задачу, ассоциированную с элементом знания 3, с требуемой вероятностью, ему сначала необходимо улучшить результаты решения задач, связывающих вершины 4, 5 и 6, 7. Аналогичная причина объясняет и проблему с элементом знания 7. Такой вывод, в свою очередь, позволяет указать, какие именно учебные упражнения необходимо выполнить данному учащемуся, чтобы достичь заданных результатов обучения. За счёт этого достигается учёт индивидуальных особенностей учащегося в процессе функционирования личностно ориентированной обучающей системы, в том числе в условиях информационного образовательного пространства личностного развития учащихся. Таким образом индивидуальные особенности учащегося (в том числе текущий уровень знаний, умений и навыков) формализуются, фиксируются на модели (модели типа ГИ) и впоследствии используется при индивидуализированном отборе учебного материала.

Подбор конкретных числовых значений, описывающих обязательные результаты обучения, может осуществляться учащимся (самим или его родителями). Именно этим реализуется учёт образовательных запросов учащихся в функционировании личностно ориентированной обучающей системы в рамках информационного образовательного пространства личностного развития учащихся.

На полученных описанным выше способом графовых моделях можно с помощью известных алгоритмов искать системы базисных элементов знания и соответственно системы базисных задач по данной теме. Подобный подход может служить основой для построения формальных моделей компетенций учащегося. Таким образом решается проблема адаптации системы отбора учебного материала к образовательным запросам и личностным особенностям учащегося.

Литература

1. Бояринов Д.А. Адаптивное образовательное пространство // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 1; URL: http://www.science-education.ru/115-12248 (дата обращения: 04.03.2014).

2. Бояринов Д.А., Емельченков Е.П. О формализации некоторых теоретических понятий методики преподавания математики / Д.А. Бояринов, Е.П. Емельченков // Информатизация общества и проблемы образования: материалы научно-практической конференции (25-27 марта 2002 г.). – Москва-Смоленск: Изд-во ИПИРАН, СГПУ, 2002. – С. 100-123.

3. Емельченков Е.П. Отчет о НИР "АГАТ". Этап 2. / Е.П. Емельченков и др. // Смоленск. НИЦ ВА ВПВО СВ РФ, Инв. N 2439–ц., 1997. – 88 с.

The account of personal features of pupils by means of graph models

Boyarinov D. A.

In the article the method of reflection on graph models of specific features of pupils is considered, the interpretation of the invariant «a vector of reliability of the graph» is given.

Key words: graph, graph model, a vector of reliability of the graph

Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ и Администрации Смоленской области

в рамках научного проекта №14-16-67012

Бояринов Дмитрий Анатольевич, кандидат педагогических наук, доцент

Смоленский Государственный Университет

Поступила в редакцию 18.11.2014